Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при неизвестной дисперсии

Пусть, как и в предыдущем случае рассматривается генеральная совокупность, характеризуемая нормально распределенной случайной величиной X. Оба параметра распределения: среднее квадратическое отклонение а и математическое ожидание а считаются не известными.

Формулируется предположение, например, на основании точечной оценки, о числовом значении математического ожидания. Таким образом, выдвигается нулевая гипотеза Н0: а = а0.

В качестве критерия для проверки этой гипотезы используется случайная величина

где X — выборочная средняя;

S — исправленная выборочная дисперсия;

и — объем выборки.

Случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы k = п - 1.

Выбирается уровень значимости а и в зависимости от вида альтернативной гипотезы определяется критическая область.

Как и в предыдущем случае возможны три вида альтернативной гипотезы и соответственно три вида критических областей.

Случай 1

Ну а > а0.

Точка Г*ра определяется из условия

по таблице (см. приложение 5) для односторонней критической области.

Случай 2

Ну а < а0.

Критическая точка определяется из условия

по таблице (см. приложение 5) для односторонней критической области с учетом соотношения

Случай 3

Ну а * а0.

Критическая область в данном случае двусторонняя, а критические точки определяются из условий

по таблице (см. приложение 5) для двусторонней критической области или с использованием условий

по таблице (см. приложение 5) для односторонней критической области.

Критические области для каждого из трех случаев приведены на рис. 9.3.

По выборке объема п определяются значения выборочной средней и исправленной выборочной дисперсии

X — а

Рис. 9.3. Критические области для критерия Т = в 0

SNn

Далее по этим данным вычисляется наблюдаемое значение критерия

и делается вывод о принятии или не принятии гипотезы Н0.

Пример 9.2. Рассматривается экономический показатель, имеющий нормальное распределение. Для проверки предположения о среднем значении этого показателя равном 40 единиц в течение 10 дней проводилось статистическое наблюдение. В результате наблюдения было установлено, что среднем за период наблюдения значение показателя оказалось равным 29,5 единиц, при этом исправленное среднее квадратичное отклонение составило 16,5 единиц. При 5%-м уровне значимости оценить предположение о среднем значении показателя.

Решение. Проверим гипотезу Н0: а = 40 при альтернативной гипотезе/^: а < 40. Учитывая, что случайная величина X — значение показателя — имеет нормальный закон распределения, в качестве критерия рассмотрим случайную величину

Для заданного уровня значимости а = 0,05 найдем левостороннюю критическую область с учетом того, что число степеней свободы равно ?=10-1=9. По таблице /-распределения (см. приложение 5) находим /*ра = 1,833, следовательно Дра = 1,833, а критическая область представляет собой интервал (-°°; 1,833).

Вычислим наблюдаемое значение критерия

Полученное значение попадает в критическую область. Таким образом, опытные данные не согласуются с предположением, и нулевая гипотеза отвергается.

Пример 9.3. Реклама платных парковок, на которых оплата первого часа значительно меньше, чем последующих часов, рекомендуя пользоваться ими, утверждает, что среднее время парковки составляет 50 минут. Выборочная проверка 9 парковок дала среднее время парковки 66 минут при исправленном среднем квадратическом отклонении 5=11 минут. При уровне значимости а = 0,05 выяснить, можно ли верить утверждению рекламы.

Решение. Проверяемая гипотеза HQ: а = 50. В качестве альтернативной выберем гипотезу Нх а > 50. Полагая, что время парковки есть нормально распределенная случайная величина, а генеральная дисперсия неизвестна, выберем в качестве критерия величину

По данным выборки найдем

Критическую точку определим для числа степеней свободы 1 = 9- 1=8. С помощью таблицы приложения 4 получаем значение tKp = 1,86. Правосторонней критической областью, соответствующей этому значению, является интервал (1,86; +°°). Так как значение критерия fHa6ji = 4,1 попадает в критическую область, то нулевую гипотезу следует отвергнуть.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >