Проверка гипотез о числовых значениях параметров нормального распределения

Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при известной дисперсии

Пусть генеральная совокупность характеризуется нормально распределенной случайной величиной X. Предполагается, что среднее квадратическое отклонение а известно, а математическое ожидание а — неизвестно.

Выдвигается гипотеза Н0, которая заключается в том, что неизвестное математическое ожидание а равно предполагаемому значению а0.

В качестве критерия проверки гипотезы выбирается случайная величина

Этот критерий подчиняется стандартному нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Критические точки в этом случае могут быть определены с помощью таблиц значений нормированной функции Лапласа (см. приложение 2).

Возможны три случая формулировки альтернативной гипотезы. Рассмотрим каждый из них.

Случай 1

Ну а > а0.

Зададимся уровнем значимости а.

В этом случае критическая область будет правосторонней, ей соответствует интервал (z^a, +°°), где точка a определяется из условия

Справедливо равенство

Из (9.3) с учетом (9.2) получим вероятность попадания значений случайной величины Z в интервал (0; ц)

Учитывая формулу (4.7) (см. п. 4.6, часть 1) можем записать

Далее с помощью таблицы значений нормированной функции Лапласа (см. приложение 2) с учетом (9.5) определяем z*p а и критическую область (z*pa, +°°).

Случай 2

Д): a < а0.

Задаемся уровнем значимости а.

Для этого случая задания нулевой и альтернативной гипотез критическая область будет левосторонней. Она представляет собой интервал (-°°, z*pa), где точка z*pa определяется из условия

В виду симметрии графика плотности распределения случайной величины Z, можем записать: z“pa = -z“p a, где z*p a определяется также как и в случае 1.

Случай 3

HL: а * aQ.

Для этого случая критическая область будет состоять из двух интервалов (-оо, zK/a/2) и (zKnppa/2, +°°). Для заданного уровня значимости а критические точки удовлетворяют условиям

Критические значения определяется аналогично случаям 1 и 2.

Для всех трех случаев критические области приведены на рис. 9.2.

По выборке объема п определяются значения выборочной средней

X — дп

Рис. 9.2. Критические области критерия Z = —-г

CT/V/7

Далее по этим данным вычисляется наблюдаемое значение критерия

и делается вывод о принятии или не принятии гипотезы //().

Пример 9.1. Специалист по маркетингу предположил, что 30% посетителей салона связи, совершающих покупку мобильного телефона, покупают новую модель при среднем квадратическом отклонении равном 6%. Для проверки этого предположения в 25 случайно отобранных салонах одновременно проводилось наблюдение за продажами мобильных телефонов. В результате этого наблюдения было установлено, что в среднем 24% процентов покупателей приобрели новую модель.

Требуется при 5%-м уровне значимости проверить правильность предположения маркетолога.

Решение. Будем считать, что процент покупателей, приобретающих новую модель телефона, является случайной нормально распределенной величиной с математическим ожиданием HQ = 30% и средним квадратическим отклонением а = 1%. Проверим нулевую гипотезу Н(): а0 = 30% при альтернативной гипотезе /Д: aQ * 30%. В качестве критерия рассмотрим случайную величину

По условию х = 24, объем выборки п = 25.

С учетом формулировки альтернативной гипотезы рассматриваем двустороннюю критическую область, состоящую из двух интервалов 2КпРа/2) И (2КпРа/2, + °°).

С помощью таблицы значений функции Лапласа (приложение 2) из условия

находим z“p и /2 = 1,96. Следовательно, критическая область состоит из двух интервалов (-°°; -1,06) и (1,06; +°°).

Рассчитаем наблюдаемое значение

Поскольку величина zHa6n попадает в критическую область, то гипотеза HQ: а0 = 30% отвергается.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >