Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины

Пусть случайная величина X распределена по нормальному зако- ну, для которого дисперсия а неизвестна. В качестве точечной оценки дисперсии используется выборочная дисперсия s2, которая определяется по случайной выборке объема п. Для получения интервальной оценки рассматривается случайная величина

Можно показать, что эта случайная величина имеет распределение х2, с k = п - 1 степенями свободы (по числу степеней свободы исправленной выборочной дисперсии 52).

Заметим, что распределение %2 несимметрично (см. рис. 8.2), поэтому в этом случае границы доверительного интервала определяются не одним параметром, как в стандартном нормальном распределении или распределении Стьюдента, а двумя:

Доверительная надежность в этом случае равна вероятности выполнения неравенств

при этом считается, что вероятности событий %2 < %2 и %2 > равны:

На рис. 8.5 этим вероятностям соответствуют площади заштрихованных частей графика плотности распределения.

Величины х2 и %2 определяются с помощью таблицы критических точек распределения х2 (см- приложение 3). Эти критические точки зависят от числа степеней свободы k и уровня значимости а.

Приведенные в таблице значения ХкР определяют левую границу полубесконечного интервала [%^р, +°°), для которого выполняется равенство

Рис. 8.5

Таким образом, правая граница доверительного интервала (8.7) X, определяется из условия

а для определения левой границы используется условие:

ч 2

Подставляя найденные значения и в (8.7) получим доверительный интервал для неизвестной дисперсии в виде неравенств:

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения будет иметь вид:

Пример 8.6. При анализе разброса показателя доходности магазинов торговой сети получены данные о результатах работы 20 магазинов. После обработки статистических данных получено значение несмещенного среднего квадратического отклонения показателя доходности 5 = 2. Считая распределение показателя доходности нормальным, найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения этого показателя. Решение. Из условия задачи определяем

С помощью таблицы распределения %2 (см. приложение 3) находим

Подставляя найденные значения в (8.7) получим искомый интервал

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >