Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии

Будем искать доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X, выбирая, как и в п. 8.3.3 в качестве оцениваемого параметра математическое ожидание Мх, а в качестве оценки выборочную среднюю х , полученную на конкретной выборке х, х2,..., хп объема п. На этот раз дисперсия Сд. считается неизвестной.

Рассмотрим случайную величину Г, в которую входит разность между Мх и случайной величиной X , случайная величина — исправленная выборочная дисперсия 52 и объем выборки п:

Можно убедиться, что случайная величина Т распределена по закону Стьюдента и имеет k = п - 1 степень свободы, поскольку она содержит исправленную выборочную дисперсию, которая также как и выборочная дисперсия, имеет п - 1 степень свободы (см. п. 8.3.2).

Зададим определенное значение надежности у. Далее по этой надежности и по числу степеней свободы k = п - 1 необходимо найти такое число t, чтобы выполнялось равенство

или

Для того чтобы найти число ? , используют таблицу (см. приложение 5) для двусторонней критической области, в которой приведены критические точки распределения Стьюдента, зависящие от числа степеней свободы k = п — 1 и соответствующие вероятности а = 1 - у:

То есть число t определяется по вероятности противоположного события, которое заключается в том, что значение случайной величины Т не попадает в доверительный интервал.

В результате, доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины при неизвестной дисперсии записывается в виде:

Пример 8.5. Для оценки среднесуточного пробега таки произведена выборка из 36 автомобилей таксопарка. Среднесуточный пробег оказался равным хв = 300 км, а несмещенная выборочная дисперсия s2 = 49 км2. Предполагая распределение суточного пробега нормальным, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надежностью у = 0,95.

Решение. На основании данных значений у и п находим вероятность а = 1 - у = 0,05 и число степеней свободы k = п - 1 = 35. По таблице критических точек распределения Стьюдента (см. приложение 5) находим значение t = 2,03 для а = 0,05 и k = 35. Подставляя в неравенство (8.6) найденное значение ty, а также

или

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >