Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

Будем искать доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X, выбирая в качестве оцениваемого параметра математическое ожидание Мх

и используя в качестве оценки выборочную среднюю х , полученную на конкретной выборке xv х2,..., хп объема п. По условию известен закон распределения случайной величины X и известна дисперсия

Рассмотрим случайную величину X — выборочную среднюю. Определим ее характеристики. Ранее было установлено (8.1), что

Аналогично, учитывая то, что все случайные величины Х{ извлекаются из одной и той же генеральной совокупности X, а значит, имеют одно и то же распределение что и X, можно записать:

Учитывая это определим дисперсию D(X ):

тогда

Зададим определенное значение надежности у. Тогда по этой надежности необходимо определить число 5 > 0 так, чтобы выполнялось равенство

или

Это соотношение выражает вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X , попадает в симметричный относительно ее математического ожидания интервал шириной 25. Вероятность этого события можно найти с помощью формулы (4.7) (см. часть 1):

Откуда следует

Для любого у по таблице значений функции Лапласа (см. приложение 2) можно найти число t, удовлетворяющее условию

Имея t, из условия

определим 5:

Окончательно доверительный интервал записывается в виде

Пример 8.4. Известно, что случайная величинаXимеет нормальное распределение. Статистическое распределение выборки представлено в таблице.

X.

2

4

6

ОО

10

12

14

ni

2

6

3

5

6

4

7

Принимая в качестве точечной оценки дисперсии D, исправленную выборочную дисперсию, найти с надежностью у = 0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания М .

Решение. Найдем выборочную дисперсию, используя формулу

Проделав необходимые вычисления: получим

Определим исправленную выборочную дисперсию Сделаем оценку среднего квадратического отклонения

По надежности у = 0,95 из соотношения

найдем значение функции Лапласа Ф(1) = 0,475.

По таблице значений функции Лапласа (см. приложение 2) находим t = 1,96.

Используя (8.5) найдем интервальную оценку математического ожидания

или

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >