Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Элементы квантовой статистики электронов в кристаллах

Ранее было показано, что в результате взаимного влияния атомов друг на друга, которое имеет место в металлах, происходит обобществление части электронов с образованием электронного газа. Именно с этим газом связаны хорошо известные электрические свойства металлов — проводников электрического тока. Вместе с этим было обнаружено, что в модели свободного электронного газа теоретические оценки сильно завышают известные из эксперимента характеристики электрических свойств металлов. Оказалось, что только небольшая часть обобществленных электронов может принимать участие в формировании этих свойств. Являются ли обобществленные электроны действительно газом свободных электронов? Ответ на этот вопрос уже получен: нет. Атомы в кристалле, действуя друг на друга, образуют энергетические зоны, которые могут и перекрываться, и разделяться энергетическими щелями. Кроме того, электроны находятся в периодическом поле кристалла, что также делает их зависимыми от свойств кристаллической решетки. Теперь надо решить еще один вопрос: как электроны располагаются в этих зонах, заполняя их?

Вопросы квантовой статистики подробно были рассмотрены в подразделе 8.9. В настоящем подразделе мы рассмотрим ее приложение к электронам в кристалле. В подразделе 4.5.11 было отмечено, что в классической физике объем фазовой ячейки может быть бесконечно мал (в связи с тем, что в классической физике условно принимается, что постоянная Планка Л —> О[1] [2]), а способ распределения электронов по энергиям регулируется статистикой Максвелла — Больцмана. В квантовой физике объем фазовой ячейки из-за соотношений неопределенностей ограничен величиной Л[3], число ячеек также ограничено, поэтому для определенного числа частиц возникает проблема их размещения по этим ячейкам. Такое правило размещения дается квантовой статистикой.

На примере атома натрия в предыдущем подразделе было показано, что из его одиннадцати электронов обобществлению подвергается лишь один электрон (см. рис. 10.4). В каждую энергетическую зону каждый атом Na «вносит» по одному уровню, они равномерно заполняют зону. Если принять, что кристалл натрия содержит в себе N атомов, зона проводимости заполнена наполовину (N/2). Как эти электроны распределяются по уровням?

Теперь нам известен (см. подраздел 8.9.1) принцип, регулирующий распределение электронов по уровням: речь идет о принципе Паули. В квантовой статистике показывается, что этот принцип является свойством статистики Ферми — Дирака, которой подчиняются частицы с полуцелым спином. Такие частицы носят название фермионов. Электрон имеет спиновое квантовое число равное 1/2, поэтому электроны подчиняются законам этой статистики.

Математически функция распределения Ферми—Дирака (распределение по энергиям фермионов — см. подраздел 8.9.3) дается выражением

где Ер — энергия Ферми; — постоянная

Больцмана.

Функция распределения Ферми — Дирака

Рис. 10.7. Функция распределения Ферми — Дирака: а-при Т=0К,б- Г>0К; в — при Т-* 00

На рисунке 10.7, а представлена функция распределения Ферми- Дирака, имеющая при Т= О К вид ступеньки. Значение этой функции распределения зависит от знака разности ЕЕр. при Е < Ер разность отрицательна и при Т= 0f(E) = 1, при Е> Ер разность положительна и при Т = = 0f(E) = 0. Это соответствует тому, что от 0 до энергии Ер все уровни заняты электронами равномерно в соответствии с принципом Паули. При увеличении температуры только часть электронов, близких к уровню Ер, может принять участие

Энергетическая структура зоны при Т> 0

Рис. 10.8. Энергетическая структура зоны при Т> 0. Здесь ЕР энергия Ферми, отсчитываемая от дна зоны; Е — полная глубина зоны. Показаны области полностью заполненных электронных уровней (выделено темным) и возбуждаемых уровней, шириной къТ(серый цвет), а также область незаполненных состояний (редкая штриховка)

в возбуждении, т.е. перейти на более высокие уровни (рис. 10.7, б). Число таких электронов пропорционально къТ, что и показано на рисунке штриховкой. Точка на зависимости /(?), соответствующая/= 0,5, не изменяет своего положения на графике при всех температурах, что означает «половинную» заселенность уровней для энергии Е = Ер при любой температуре Т>0. При^вГ»^ распределение Ферми — Дирака переходит в распределение Больцмана (рис. 10.7, в для Т-> °о), характерное для классического идеального газа.

На рисунке 10.8 представлена схема заполнения уровней электронами для разобранного нами случая металлического натрия. Отмечены: дно потенциальной ямы (дно зоны), энергия Ферми, отсчитываемая от дна зоны, и нулевой уровень энергии. Так как число электронов в атоме Na нечетно, то на верхнем занятом уровне имеется только один электрон. Как мы установили ранее, для Е < Ер зона заполнена только наполовину. В возбуждении могут принять участие электроны, расположенные вблизи уровня Ер, хотя «места в зоне хватило бы на всех» (это могло бы случиться при очень высокой температуре, что невозможно, так как в этих условиях металл превратился бы в газ).

При температуре абсолютного нуля все уровни заняты электронами вплоть до Ер. При увеличении температуры часть электронов возбуждается и занимает свободные уровни энергии. Именно эти электроны, и только они, определяют электропроводность металлов. Средняя энергетическая ширина этой зоны возбуждений равна къТ, что качественно представлено на рис. 10.7 и 10.8.

Другой случай представляют частицы с целочисленным спином: например, фотоны со спиновым квантовым числом, равным 1 (или рассматриваемые ниже кванты тепловых возбуждений в твердом теле — фононы со спином, равным 0). Такие частицы относят к разряду бозонов. Они подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна.

Функция распределения/(е) для бозонов (см. подраздел 8.9.2) имеет вид[4]

Особенности фотонного газа заключаются в том, что фотонный газ не может существовать сам по себе, для его поддержания необходим источник фотонов, каковым может быть излучение нагретого тела или источник света. Далее все фотоны в вакууме движутся с одинаковой скоростью, равной скорости света с, и обладают энергией /гео, импульсом /гсо/с и массой Е/с[5]. Кроме того, фотоны не сталкиваются (не взаимодействуют с обменом энергии и импульса) друг с другом и их равновесие достигается только при взаимодействии с нагретым телом, например, внутри замкнутой полости. И последнее. Их количество не является фиксированным, оно устанавливается исходя из равновесия с источником (нагретым телом, например).

  • [1] Здесь речь идет не о том, что численное значение постоянной Планка А меняется,
  • [2] а имеется в виду, что дискретность энергетических уровней становится пренебрежимо
  • [3] малой.
  • [4] Отличается от выражения (10.6) — функции распределения для фермионов только зна
  • [5] ком перед единицей в знаменателе.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы