Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Особенности распределения Ферми — Дирака

Как следует из свойств Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака, значения спина частицы влияет на то, как распределяются частицы по уровням энергии в коллективах, построенных из одинаковых частиц. Коллектив частиц может быть не только идеальным газом, как рассматривалось ранее, но, например, объединением электронов проводимости в металлах, так как электроны в металлах, в первом и грубом приближении, могут рассматриваться как свободные, слабо взаимодействующие друг с другом частицы (электронный газ).

На рисунке 8.38 представлено распределение Ферми — Дирака при температурах 7 = 0 и Г > 0, а на рис. 8.39 для сравнения — распределения: Бозе — Эйнштейна, Ферми — Дирака (для Т> 0), а также классическое распределение Больцмана.

Распределение Ферми — Дирака для разных температур

Рис. 8.38. Распределение Ферми — Дирака для разных температур

Рис. 8.39. Сравнение статистик при Т > 0

В результате реализации распределения Ферми — Дирака, дискретности спектра и принципа Паули электроны парами расселяются на «ступеньках лестницы» дискретных энергетических уровней системы частиц, начиная от самой нижней до самой верхней ступеньки. Таким образом, число этих энергетических ступенек, заполненных электронами, равно половине числа электронов в системе. Отметим одно важное обстоятельство: для частиц с целым спином это совсем «другая лестница». Она имеет ступеньки совсем другой «высоты» и заполняется совершенно иначе. Энергия последней заполненной электронами энергетической ступеньки при Т= 0 в распределении Ферми — Дирака названа энергией Ферми. Она обозначается Ер. Энергия Ферми при Т= 0 совпадает с химическим потенциалом р системы частиц.

Для типичных металлов число атомов в 1 см3 порядка 1022—1023.

Каждый из атомов, например, щелочного металла отдает для электропроводности (и обобществляет) один валентный электрон, который становится свободным и может приобрести кинетическую энергию в металле. Поэтому и плотность электронов проводимости также порядка 1022—1023. Этой плотности электронов отвечает энергия Ферми Ер порядка нескольких электрон-вольт. Таким образом, энергетическая лестница общей высотой порядка 10-18 Дж имеет примерно Ю22 «ступенек», каждая высотой около 10-40 Дж. На каждой из этих ступенек находится по два электрона с противоположными проекциями спинов. Однако это распределение электронов по энергетическим ступенькам имеет место только при Т= 0. Если же температура системы растет, то электроны начинают приобретать дополнительную тепловую энергию и расселяться по энергетическим уровням выше границы Ферми (расстояния между ступеньками остаются много меньше тепловой энергии къТэлектронов). Иными словами, верхняя четкая граница заселенности электронами уровня Ферми «размывается» (эта граница фиксирована строго только при Т = 0, а пустые энергетические уровни сами по себе существуют и при энергии выше границы Ферми — см. рис. 8.38 и 8.39). Сколь же сильным будет это «размытие»? Это зависит от отношения тепловой энергии частицы къТк энергии Ферми Ер. При комнатной температуре тепловая энергия равна примерно 4 ? 10-21 Дж, а Ер— около 10-18 Дж. Их отношение составляет около половины процента. Иными словами, размытый участок будет в сотни раз уже всего распределения. Таким образом, в размытый участок перейдет и будет принимать участие в тепловом движении только очень малая часть всех свободных электронов. Эта доля, как определено выше, меньше одного процента при комнатной температуре и еще намного меньше при более низких температурах. Это и есть причина того, что при обычных и низких температурах электроны, обусловливающие электрический ток в металлах, не вносят почти никакого вклада в его теплоемкость. Этот факт классическая теория электропроводности металлов объяснить не могла. Электроны начнут вносить заметный вклад в теплоемкость лишь при температурах, когда тепловая энергия къТ будет иметь такой же порядок величины, как и энергия Ферми Ер. Это соответствует температурам в десятки тысяч градусов, когда металлов как таковых уже и в помине не будет (они испарятся), либо это очень низкие температуры. Известно, что теплоемкость решетки твердого тела с понижением температуры падает очень быстро, примерно как куб абсолютной температуры (см. далее подраздел 10.3.2.2). Теплоемкость же электронного газа уменьшается пропорционально уменьшению ширины размытого участка распределения Ферми линейно с температурой. В результате при очень низких температурах электронная и решеточная теплоемкости могут оказаться сравнимыми по величине.

Рассмотрим вид кривой распределения Ферми — Дирака и ее особенности.

Согласно (8.121) и (8.148) функция Е(г) распределения Ферми имеет следующий вид:

Здесь в соответствии с формулой (8.122) введен весовой множитель, равный 2, так как мы приняли j = s= 1/2. Первый сомножитель в (8.160) представляет полное число состояний частиц с энергией между е и е + dc, а второй, включающий экспоненту, — вероятность того, что эти состояния заняты.

Рассмотрим его, т.е. /(e) = l/ ехр^^-^j + l , поведение для случая,

когда р/0 >> 1 (в этом распределении нет ограничений на знак величины р, и критерий р/0 » 1 отвечает именно квантовым свойствам статистического распределения). При с = 0 получаем:

потому что ехр (—р/0) — малое число. Пока с остается меньше р, величина ехр[(с-р)/0] тоже малое число, а/(е) близко к единице, как и /(0). Только тогда, когда (с — р) сравнимо с q, ехр[(с-р)/0] имеет порядок единицы, так что/(с) начинает заметно убывать при возрастании г,. При ? = р величина/(р) = 1/2. При еще больших значениях с функция

/(г.) убывает экспоненциально потому, что тогда можно пренебречь единицей в знаменателе, и для с » ц,/(с) переходит в распределение Больцмана: (см. рис. 8.39). Такой же предельный вид имеет и распределение Бозе — Эйнштейна.

Рассмотрим, каково будет распределение Ферми — Дирака при абсолютном нуле температуры. По мере уменьшения температуры область размытости сужается и при абсолютном нуле функция распределения имеет вид ступеньки. На рисунке 8.38 эта ступенька изображена жирной ломаной линией. Значение ц при абсолютном нуле обозначим ц(0). Следовательно, при Т= 0 все состояния с энергией, меньшей ц(0), заняты с вероятностью единица, а состояния с энергией, большей чем ц(0), свободны (вероятность их занятости равна нулю). Отсюда следует физический смысл величины ц(0) в выражении распределения Ферми — Дирака: это наибольшая энергия частиц, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака при Т= 0, т.е. определенная выше энергия Ферми EF. Ее величину можно вычислить из условия, что функция /(с) при Т= 0 равна единице при всех значениях е < р(0). Полное число частиц, определенное из (8.158) при Т= 0 (множитель, содержащий экспоненту, равен единице), определяется как

Отсюда

Типичные значения величин Ер для различных металлов лежат в области нескольких электрон-вольт. Согласно квантовой механике, в отличие от классической физики, электроны в металлах даже при абсолютном нуле температуры обладают дискретным спектром энергий, и величина их предельной энергии (?> ~ 1—5 эВ) существенно превосходит значения, характерные для тепловых движений атомов вещества при комнатной температуре (~0,025 эВ).

Таким образом, в энергетическом распределении возникает своеобразная изоэнергетическая поверхность, отделяющая область занятых электронных состояний в металлах от области состояний, в которых при Т = 0 электронов нет — поверхность Ферми. Электроны, имеющие энергию Ер, «расположены» на ферми-поверхности. Большинство свойств металлов определяют электроны на поверхности

Ферми и вблизи нее. Каждый металл характеризуется своей ферми- поверхностью. Ферми-поверхности у различных металлов различны (в отличие от газов). Для газа, состоящего из свободных электронов, — это сфера. Если занятые электронами состояния находятся внутри поверхности Ферми, то она называется электронной. Если внутри ферми-поверхности есть состояния, которые свободны, то она называется дырочной («дырка» — отсутствие электрона).

Итак, при температуре, близкой к абсолютному нулю, тепловое возбуждение может сообщаться только тем частицам, энергия которых близка к EF. Действительно, пока кБТ « EF, тепловое возбуждение не может быть передано частице, энергия которой лежит глубоко под поверхностью Ферми, потому что энергетические состояния между этой энергией и поверхностью Ферми заняты, а энергии къТ не достаточно, чтобы перевести частицу за пределы этой поверхности. Вероятность заполнения энергетических состояний будет почти равна единице при всех энергиях е < EF и сойдет к нулю в области порядка Ef + кБТ. Критерием того, что кривая распределения Ферми близка по форме к ступеньке, т.е. к распределению при Т = 0, является неравенство:

При этом понятие близости температуры к абсолютному нулю по критерию (8.164) сильно отличается от привычного. Например, электроны, обусловливающие электрический ток в металлах, обычно рассматриваются как идеальный газ, поэтому и говорят об электронном газе в металлах, предполагая, что вклад классического межэлектронного взаимодействия существенно меньше, чем квантовые ограничения, налагаемые на идеальный газ.

Не рассматривая подробно электронной теории металлов, что выходит за рамки данного курса, возьмем электронный газ лишь в качестве примера, в котором выполнено условие (8.164). Предположим, что от каждого атома в решетке твердого тела в электронный газ уходит один электрон, который в силу этого и называется электроном проводимости (остальные электроны остаются при данном атоме). Это допущение справедливо для щелочных металлов, у которых последний валентный электрон связан с атомом слабо и в решетке твердого тела отделяется от атома. Найдем EF для электронного газа в металлическом натрии. Плотность металлического натрия 0,97 • 103 кг/м3, относительная атомная масса 23. Следовательно, в единице объема (в 1 м3) заключено 2,5 • 1028 атомов и столько же электронов проводимости. Отсюда, согласно (8.163), Ер » 2 эВ, что соответствует Т « 28 700 К. Следовательно, при всех температурах, при которых может идти речь о существовании твердого натрия как металла, распределение электронов проводимости в нем по виду очень близко к резкой ступеньке (соответствует распределению при Т = 0). Аналогичные результаты получаются и для нещелочных металлов, хотя и с менее надежной оценкой, связанной с неопределенностью в значении электронной плотности. Интересно, что протонный газ в тех же условиях из-за того, что масса протона в * 2000 раз больше массы электрона, проявлял бы себя как газ классических частиц.

Так как электронный газ в металлах представляет собой квантовую систему (не подчиняется статистике Максвелла — Больцмана) даже при столь высоких температурах, говорят, что в нормальных условиях он находится в вырожденном состоянии'.

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна играют основную роль в объяснении многих явлений природы, происходящих на атомном уровне и связанных с системой многих частиц, прежде всего в вопросах физики твердого тела. Некоторые из этих вопросов будут обсуждены в главе 10.

1 В полупроводниках из-за существенно более низкой концентрации (1018—1024 м_3) электронов в полупроводниках электронный газ в них в нормальных условиях, в большинстве случаев, оказывается невырожденным и подчиняется классической статистике Максвелла — Больцмана.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы