Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Статистика Ферми — Дирака

Теперь, основываясь на полученных результатах, можно найти распределение фермионов по состояниям.

Для величины ^согласно (8.127) и формуле Стирлинга (8.131) имеем:

Дифференцируя Sf и подставляя результат в формулу (8.139), получаем:

откуда тем же методом, который использован в предыдущем подразделе, приходим к условию экстремума:

которое для искомого распределения квантового газа фермионов, находящегося в термодинамическом равновесии, приводит к формуле

здесь пк < gk, как и должно быть у частиц, подчиняющихся запрету Паули. Формула (8.148) называется распределением Ферми —Дирака. Соответствующая статистика называется статистикой ФермиДирака. Параметры Эйр определяются аналогично (8.144) из выражений:

Статистика Больцмана

Выражения (8.143) и (8.148) позволяют путем предельного перехода перейти к распределению частиц по энергиям в термодинамической системе, подчиняющейся классическим законам. При переходе к классическому распределению выражения (8.143) и (8.148) должны совпадать и давать формулу классического распределения вида (4.45). Это возможно только в том случае, когда величина экспоненты, стоящей в знаменателях этих выражений, остается всегда (при любых с*) много

больше единицы, т.е. ехр^- 5+*)» 1. Из этого неравенства вытека-

L1

ет условие, которому должна подчиняться величина введенная ра

нее формально, при нахождении экстремума функции S. Итак, вели

чина Е должна быть отрицательной и по абсолютной величине

существенно большей единицы. При этом условии оба распределения (8.143) и (8.148) переходят в одно:

Это распределение называется классическим, или распределением Больцмана (это означает, что перестает играть роль спиновое состояние частиц и принцип их тождественности). Для удобства сопоставления с формулой (4.45) выражение (8.150) можно переписать в виде

где Л = g*. ехр|^ j. Отметим, что функцию гк во внешнем силовом поле

выполняет потенциальная энергия Uчастиц, а введенный формально параметр 0 должен быть больше нуля и иметь размерность энергии, что следует из (8.151). Это определенная в подразделе 4.5.2 тепловая энергия. Ее величина определяется температурой системы и составляет 0 = кБТ. Величина р, также фигурирующая в рассмотренном распределении, имеет большое значение в теории химических и фазовых равновесий. Она называется химическим потенциалом, является функцией состояния и используется для описания термодинамических систем с переменным числом частиц. Однако подробное изложение круга этих вопросов выходит за рамки курса общей физики и является предметом физической химии.

Задолго до разработки статистики, учитывающей спиновое состояние частиц и их тождественность, т.е. появления распределений Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака, Больцман дал выражение классического распределения частиц по энергиям (см. подразделы 4.2 и 4.3).

В подразделе 4.3.1 указывалось, что классическое распределение Максвелла — Больцмана не накладывает ограничений на энергию частиц.

Для полной энергии частицы Е = U+ с дискретными значениями: Еь Е2, Ег, как это имеет место в квантовой механике, распределение Больцмана принимает вид:

где Nj — число частиц, находящихся в состоянии с полной энергией А — коэффициент пропорциональности, который должен удовлетворять нормировочному условию:

где N — полное число частиц в системе.

Такой дискретный ряд возможных полных энергий имеет место, например, для внутренней энергии атома или частицы, движение которой ограничено в пространстве. Подставив найденное из последнего выражения значение Л в (8.152), получаем окончательное нормированное выражение для распределения Максвелла — Больцмана:

справедливое для случая дискретных значений энергий. Используемая здесь величина

играет фундаментальную роль в квантовой статистике и называется статистической суммой (в случае классической статистики это выражение заменяется интегралом, который называется статистическим интегралом).

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы