Основные положения квантовой статистики

Задание состояний системы частиц в квантовой статистике

Если квантовая система многих частиц — будем называть ее газом — состоит из одинаковых частиц, которые могут находиться в физически разных состояниях, то ее состояние в целом задано, если указано, сколько частиц находится в каждом из возможных состояний. Однако в дополнение к характеристике состояния отдельных частиц, составляющих систему, при рассмотрении состояния системы в целом, вообще говоря, необходимо учитывать еще и ее статистические и квантовые особенности, о которых речь пойдет далее.

Сначала рассмотрим возможные состояния отдельной частицы в газе.

Определим число состояний dN (dN — статистический вес или кратность вырождения), приходящихся на единичный интервал энергии ds, т.е. плотность энергетических состояний g(&) = djV/dg. Рассматривая состояния квантовой частицы массой т в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме шириной L (см. подраздел 8.4.2), мы установили, что при учете энергии ? только поступательного (трансляционного) движения, в соответствии с выражением (8.24), они определяются значением квантового числа п. Поэтому число dN состояний, приходящихся на единичный интервал энергий и число dп квантовых чисел в этом интервале, равны друг другу. Если энергетический за-

де

зор между уровнями мал (—(п -»оо) —> 0, см. соотношение (8.27)), то для та-

Е" Lsjbn

кого квазинепрерывного спектра, выражая п =-%[г из формулы (8.24)

nh

и дифференцируя полученное соотношение по энергии ?, находим

Из последнего соотношения следует, что в рассматриваемом одномерном случае плотность энергетических состояний с ростом энергии падает 1/Ve.

Для идеального газа квантовых частиц массой т каждая рассмотрим более реалистичный трехмерный случай — квантовый газ заключен в кубический сосуд (ребро куба имеет длину L). Определим степень вырождения энергетических уровней и плотность состояний для одной частицы такого газа.

Возвращаясь к одномерному случаю (подраздел 8.4.2), отметим условия квантования волнового вектора к„ = ±nn/L (условие существование решения (8.26) уравнения Шредингера в виде стоячей волны — см. рис. 8.8, а), дающее минимальный интервал ею разрешенных значений Ак„ для всех ±п, равный /к„ = = k/L — (—n/L) = 2n/L. Само разрешенное значение — точка в середине этого интервала. Соответствующий минимальный интервал между разрешенными значениями проекции импульса Ар„ частицы в этом случае будет Ар„ = = Ak„h = 2nti/L. Если частица находится в двумерном координатном пространстве, то окрестности разрешенных значений импульса р будет соответствовать ячейка импульсного пространства на плоскости рху (рис. 8.34 а), с разрешен-

( 2яЛ V

ным значением р — точкой в центре и площадью I ——J . При пространствен-

ном (трехмерном) раеемотреннн - ото объемная ячейка AftAftAft - (“)

с разрешенным значением р. Этот кубический объем ограничивает одно квантовое состояние (точка М на рис. 8.34, aw 6) частицы в импульсном пространстве.

Импульсу р соответствует энергия е частицы, е = р2/2т, одинаковая для всех направлений вектора р и соответствующих этим направлениям проекций рх, ру, pz. Эти направления соответствуют положению конца вектора р на сфере, радиусомр, показанной на рис. 8.34, а (пунктир). Изоэнергетическая область заключена в интервал г. — ? + de, соответствующий области импульсного пространствар—р + др, выделенной затемнением на рис. 8.34, б. Толщина рассматриваемой области шарового слоя определяется дифференцированием

Разрешенные дискретные значения проекции импульса (а); шаровой слой (затемнен) вырожденных изоэнергетических состояний (б) идеального газа квантовых частиц

Рис. 8.34. Разрешенные дискретные значения проекции импульса (а); шаровой слой (затемнен) вырожденных изоэнергетических состояний (б) идеального газа квантовых частиц

Общее число состояний, характеризуемых значениями энергии в интервале е — ё + de, получается делением объема 4np2dp шарового слоя толщиной dp

(h V

в импульсном пространстве на объем 1—^—1 одного квантового состояния, а соответствующая плотность энергетических состояний

где V= ?3— объем трехмерного потенциального ящика в координатном пространстве.

Таким образом, в отличие от (8.119) плотность состояний в трехмерном случае не падает, как е_|/2, а растет ~ е|/2. Соотношения (8.119) и (8.121) — результат решения задачи квантовой механики, рассматривающей движение частицы в ограниченном объеме пространства.

Выражение (8.121) очень важно для дальнейшего изложения, как и вообще, важно понятие плотности состояний (не обязательно только трансляционного движения).

Если допустить, как это принимается в квантовой механике, что частица имеет дополнительную характеристику (кроме массы, например, вектор полного момента импульса, для электронов это также спин и связанный с ним собственный магнитный момент), то нужно учесть еще число возможных проекций этой величины на физически выделенное направление в пространстве (например — направление внешнего магнитного поля, если оно существует). Число этих проекций (2!/' + 1) (где j — соответствующее квантовое число), и каждая проекция соответствует дополнительной энергии частицы в магнитном поле (см. подраздел 8.7). Для отдельного электрона j — это квантовое число собственного момента импульса, которое обозначается s (спиновое квантовое число), равное 1/2, так что (2j + 1) = = (2s + 1) = 2.

Поэтому полное число возможных (трансляционных и спиновых) физически различных состояний частицы в энергетическом интервале от г. до е + de во внешних полях увеличивается в (2/ +1) раз и определяется выражением (трехмерный случай):

В этом выражении не учитываются возможные внутренние состояния составной частицы (например, колебания молекулы), а также возможное ее вращение как целого.

Иногда бывает необходимо знать статистический вес1 состояния частицы, импульс которой заключен между р и р + dp. В квантовой статистике он определяется (также с учетом возможного собственного момента импульса частицы) формулой

Теперь об условиях, налагаемых на систему в целом.

Первое условие — различимость и неразличимость (тождественность) частиц. Если система состоит из физически одинаковых частиц то, не имеет смысла уточнять, какие именно частицы находятся в том или ином состоянии, так как одинаковые частицы в квантовой механике принципиально неразличимы между собой. Подчеркнем, что учет неразличимости частиц является основой для наиболее полной теории состояний газов, основанной на квантовой статистике независимо от того является ли рассматриваемый спектр энергий этих частиц непрерывным или дискретным. Наоборот, классическая статистика основана на том, что указывается, какие именно частицы находятся в данном состоянии — т.е. на различимости частиц. Это положение приводит к распределению частиц по состояниям, определяемому классическим распределением Максвелла — Больцмана. Естественно, должен существовать предельный переход выражений: от функций распределений числа частиц по состояниям в квантовой статистике к классической статистике различимых частиц.

Второе условие (накладываемое только в квантовой статистике) — необходимо рассматривать два класса частиц: фермионы и бозоны, характеристики которых приведены в табл. 8.3.

Таблица 8.3

Допустимые числа заполнения энергетического состояния систем, подчиняющихся различным статистикам

Тип частицы

Спин*, s

Допустимое заполнение состояния

Пример

Фермионы (статистика Ферми — Дирака)

Полуце- лый: 1/2, 3/2, 5/2,...

0 или 1. Принцип Паули

Электроны, протоны, нейтроны, нейтрино, атомы 3Не

Бозоны (статистика Бозе — Эйнштейна)

Целый: 0,1,2,3,...

0,1,2,3,... Нет ограничений на число частиц в одном энергетическом состоянии

Фотоны, фононы, дейтроны, атомы 4Не

’ Здесь имеется в виду спиновое квантовое число.

1 На квантовом языке статистический вес равен кратности вырождения или числу различных состояний с одинаковой энергией.

Вскоре после открытия спина выяснилось, что все атомные и субатомные объекты в соответствии с величиной их спина подчиняются двум различным классам законов физической статистики: в один класс попадают объекты с целым значением спинового квантового числа (далее, просто спином), в другой класс — объекты с полуце- лым значением спина. Принадлежность квантовой частицы к одному из этих классов определяющим образом влияет на то, как они распределены по уровням энергии (как заполняют эти уровни) в коллективе, построенном из одинаковых частиц, и на величину самих уровней. Это было установлено Ш. Бозе в 1924 г. для объектов с целым спином — в его честь они были названы бозонами, а определяющая их поведение статистика именуется статистикой Бозе—Эйнштейна. Для объектов с полуцелым спином — их назвали фермионами (введены Э. Фермй в 1926 г.) с соответствующей статистикой — статистикой Ферми- Дирака. Оба введенных распределения существенно отличаются друг от друга. Известно, что неживая и живая материя представляет вещество и поле, обусловливающее взаимодействие между материальными телами, а бозоны относятся к элементарным частицам — переносчикам фундаментальных взаимодействий, в то время как все материальные тела построены из элементарных частиц — фермионов.

Для фермионов справедлив квантово-механический принцип В. Паули: в квантовой системе не может существовать двух или более фермионов, квантовое состояние которых представлено одинаковыми квантовыми числами. Иными словами, принцип Паули (его иногда называют запретом Паули) запрещает существование более одного фермиона в данном (определенным полным набором квантовых чисел) квантовом состоянии. Следовательно, число фермионов в физическом состоянии (вес состояния фермиона) может быть либо 1, либо 0 (см. табл. 8.3). Первоначально Паули сформулировал этот принцип для электронов в атомах. Согласно ему квантовое состояние, определяемое главным квантовым числом, квантовым числом орбитального момента импульса, квантовым числом проекции орбитального момента импульса на физически выделенное направление и спиновым квантовым числом со своим значением проекции, может быть занято только одним электроном. Это означает, что на любой атомной или молекулярной орбите могут находиться максимум два электрона с противоположно направленными спинами (строго говоря, разного знака проекциями спинового момента импульса). В такой форме принцип Паули составляет основу для теоретического построения периодической системы элементов Д.И. Менделеева. Для бозонов (частиц с целым значени

ем спина) не существует ограничений на заполнение квантовых состояний. Это означает, что число бозонов может быть произвольным для любого квантового состояния.

Рассмотрим теперь большую совокупность невзаимодействующих квантовых частиц — идеальный газ, состоящий из N частиц (N » 1), которые будем считать одинаковыми, т.е. неразличимыми, и каждая из которых может находиться в различных состояниях — номер состояния) со своим статистическим весом и плотностью состояний gk, зависящей от этого состояния. Вероятности возможных состояний будем считать одинаковыми для всех частиц, составляющих газ. Выберем из общего числа пк частиц с энергией zk, плотность состояний которых gk. Тогда эти пк частиц можно распределить по gk состояниям (для наглядности будем говорить о числе состояний qk, предполагая неизменным энергетический интервал для их плотности) P(gk, пк)- числом способов (размещений), которое можно получить из следующих рассуждений.

Если допустить, что эти частицы — бозоны, то можно представить их находящимися внутри продолговатого сосуда, разделенного перегородками так, что число G одинаковых замкнутых ячеек, заполненных произвольным числом N неразличимых квантовых частиц, оказываются разделенными G — 1 стенками (см. рис. 8.35). Таким образом, организованная система содержит (N + G — 1) элементов — частиц и стенок (также неразличимых), которые можно произвольным образом переставлять, заменяя одни стенки другими (при этом нумерация стенок меняется) и перемещая частицы между ячейками (число частиц в ячейках может меняться при сохранении их общего числа N). Такие перестановки в системе допускают также перемещения ячеек с частицами, что меняет нумерацию ячеек. Всевозможные перестановки N + G — 1 элементов могут осуществляться в соответствии с правилами комбинаторики, 1 • 2 • 3 •... • (N+ G— 1) = (N + G— 1)!-способами.

Размещение квантовых частиц — бозонов

Рис. 8.35. Размещение квантовых частиц — бозонов

Так как квантовые частицы неразличимы, то их перестановки с заменой одной на другую не дают новых состояний. Число таких перестановок равно №.. То же относится и к неразличимым стенкам, которых (G — 1)!. Значит, общее число вариантов Р, распределений N неразличимых частиц по G ячейкам- состояниям оказывается

Теперь предположим, что рассматриваемые частицы — фермионы, которые могут заполнять ячейки-состояния только индивидуально, находясь по одной частице (черные кружки на рис. 8.36) в каждой ячейке, либо отсутствовать в ячейке. Очевидно условие G > N, при котором часть ячеек могут оставаться незаполненными.

Размещение квантовых частиц — фермионов

Рис. 8.36. Размещение квантовых частиц — фермионов

Теперь общее число элементов в системе (пустых и заполненных ячеек) равно G, а допустимое число их возможных перестановок — G. При этом перестановки неразличимых частиц, общее число которых М, не дают новых состояний системы (их надо исключить), так же и перестановки (G — N) пустых ячеек — их всего (GN) — так же принадлежат к числу исключаемых вариантов. Таким образом, для общего числа размещений N фермионов по G ячейкам, соответствующих разным состояниям системы, получаем

Для иллюстрации подсчета числа возможных состояний системы предположим, что она состоит из двух (N = 2) одинаковых неразличимых частиц и каждая из них может иметь только два физически различных состояния (G = 2), которые условно обозначим а и б. При этом предположим также, что вероятности нахождения каждой частицы в этих состояниях одинаковы, как и энергии частиц в этих состояниях (е„ = е^). В этом случае допустимы всего три физически различных состояния:

  • 1) аа (обе частицы в состоянии а), состояния бб и аб не заняты частицами (из-за неразличимости состояния аб и ба тождественны и соответствуют одному состоянию);
  • 2) бб (обе частицы в состоянии б), состояния аа паб — свободны;
  • 3) аб — одна частица в состоянии а, другая — в б (состояния аа и бб свободны). Ввиду неразличимости частиц состояние 3) нужно считать один раз, потому что перестановка одинаковых частиц не приводит к различным физическим состояниям системы. Если рассматриваемые частицы — фермионы, то необходимо применить запрет Паули, и тогда из трех возможных состояний системы останется только одно — аб. Видно, что запрет Паули сильно уменьшает число возможных состояний системы в целом. Система, состоящая из двух неодинаковых частиц, например, из протона и электрона, имела бы и четвертое различимое состояние (ба). Если система состоит из двух тождественных бозонов, которые могут находиться с равной вероятностью в одном из двух состояний с одинаковой энергией, то возможны три состояния системы. К тем же результатам приводит использование формул (8.124) и (8.125) (напоминаем, что 0! = 1).

Рассмотрим пример для трех тождественных частиц с одинаковой энергией, каждая из которых имеет три возможных и равновероятных значения (состояния): абс. Если эти частицы — фермионы, то возможно одно и только одно состояние системы (то же по формуле (8.124)), как целого: в каждом состоянии по одной частице: абс. Если частицы — бозоны, то их можно расставить по состояниям следующим образом: ааа, ббб, ссс — три состояния (по одной в каждом состоянии), далее: ааб, ббс, сса, ссб, bba, аас — шесть возможных состояний (две частицы в одном состоянии, третья — в одном из двух оставшихся состояний и одно состояние абс. Таким образом, в этом примере возможно 10 физически различных состояний системы (то же по формуле (8.125)). Если бы эти три частицы различались, т.е. не были бы тождественны, например, это были бы ядерные частицы п+, л-, я°-мезоны, имеющие спин равный нулю (бозоны), то каждая из них независимо от других могла бы иметь любое из трех состояний. Следовательно, система из таких частиц имела бы З3 = 27 состояний.

В данных примерах все частицы (по допущению) обладают одинаковой энергией. Иногда энергия частицы полностью еще не определяет ее состояние. Например, энергия атома водорода зависит от главного квантового числа л, и при заданной энергии атом водорода может иметь 2п2 состояний (см. подраздел 8.6.1 — вырожденные состояния). Можно, однако, поместить рассматриваемую систему в такие внешние условия, что величина е„ будет определять состояние частицы однозначно. Например, во всех атомах, кроме водородоподобного, энергия зависит не только от главного квантового числа л, но и от / — орбитального квантового числа (квантового числа орбитального состояния электрона в атоме). Учет так называемого спин-орбитального взаимодействия (см. подраздел 8.5.8) показывает, что имеет место зависимость энергии атомной системы от полного момента импульса атома. Если систему поместить во внешнее магнитное поле, то данному квантовому состоянию атома будет соответствовать другое значение энергии. Например, для атома водорода, помещенного в магнитное поле, «раздвигаются» все энергетические уровни, отвечающие состояниям с одинаковым главным квантовым числом л, но различающиеся магнитными квантовыми числами лц. Если в системе имеется несколько состояний частиц с одним значением энергии, то, как указывалось ранее, система вырождена. В противном случае говорят, что система не вырождена. Иными словами, в приведенном выше примере с магнитным полем вырождение системы снимается (см. подраздел 8.7).

Возвращаясь к поставленной задаче о распределении пк частиц nog* состояниям, видим, что число P(gk. пк) их возможных размещений получается заменой NhGb формулах (8.124) и (8.125) на пк и gk соответственно. Тогда получаем:

для бозонов

для фермионов

Каждое размещение в (8.126) и (8.127) при конкретном к будет соответствовать возможному отдельному, физически различимому состоянию системы в целом. Числа gk и пк относятся к одной определенной энергии е* частиц в газе. Общее число возможных состояний в таком квантовом газе (в силу неразличимости частиц) должно определяться выражением

где число сомножителей определяется полным числом возможных значений энергии частиц в газе, т.е. при к= 1,2,....

В физической статистике доказывается, что при термодинамическом равновесии газ всегда близок к такому состоянию, когда размещение отдельных частиц по энергиям соответствует максимальному значению величин Рв или PF. Иными словами, в термодинамическом равновесии должно быть представлено максимально возможное число состояний Яятах или Р™ж (которые достигаются при определенных функциях распределений и(е) числа частиц по энергиям для соответствующих систем, подчиняющихся статистикам Бозе—Эйнштейна или Ферми- Дирака). То есть любая изолированная система в термодинамическом равновесии должна обладать максимально возможным беспорядком. В нашу задачу входит нахождение функций распределения л(с) для газа, состоящего из бозонов или фермионов, в зависимости от параметров системы (в частности, температуры).

Таким образом, имеются следующие условия для решения поставленной задачи: должны быть вычислены величины />jnax и Р™'к при дополнительных условиях, смысл которых очевиден — 1) сохранение энергии и 2) сохранение числа частиц в системе:

где Е — полная энергия частиц в системе, а N — полное число частиц в ней.

Это типичная задача на нахождение экстремума функций (Рв и PF) с учетом дополнительных условий. Удобнее, однако, искать не экстремум самих функций Рв и PF, а экстремум (максимум) их натуральных логарифмов, т.е. функций SB = пРв и SF = ln/V Это не меняет условий существования соответствующих экстремумов функций распределений пв(с) или иДс), так как логарифмы функций Рв и Р, являются монотонными функциями аргумента и обладают максимальными значениями при тех же аргументах, что и сами функции (нас интересует условие максимума, а не сама величина этого максимума). Итак, нужно найти экстремумы величин:

т.е. для бозонов и фермионов соответственно. Для факториалов больших чисел, которые фигурируют в выражениях (8.126) и (8.127), имеется удобное приближенное выражение, которое мы будем использовать

— это формула Стирлинга. Оно тем точнее, чем больше величина п.

Итак, для решения поставленной задачи мы должны отыскать такие значения пк, при которых величина

достигает максимума1 при заданной полной энергии Е = ^пк?к и об-

к

щем числе частиц N='Ynk для двух случаев: для системы, состоящей

к

из частиц с целочисленным значением спина, и системы, состоящей из частиц с полуцелым спином.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >