Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Решение уравнения Шредингера

для абсолютного значения момента импульса ротатора. Векторы момента импульса в квантовой механике, пространственное квантование. Магнитный момент одноэлектронного атома

Так как угловая часть волновой функции атома водорода равна произведению двух функций Y(0, ср) = Ф(ф) • 0(0), при подстановке его в (8.50) получим

Преобразуем уравнение (8.55), имея в виду, что Е— U=E, из-за равенства нулю потенциальной энергии U. При свободном вращении есть только кинетическая энергия Т вращения (Г=?),ит = р — приведенная масса жесткого ротатора. Умножив обе части (8.55) на sin2O/[((p)0(O)], получим:

В последнем уравнении каждое слагаемое зависит либо от <р, либо от 0. Сгруппируем их так:

Переменные 0 и ф разделились: слева стоит функция одного переменного 0, справа — другого переменного ф. Поэтому равенство (8.57) может быть удовлетворено только тогда, когда обе части его равны одному и тому же постоянному числу. Так как мы уже знаем функцию Ф(ф) (см. (8.54)), можно найти это число. Действительно, правая часть уравнения (8.57)

Значит, и левая часть

Таким образом, осуществлено разделение переменных. Уравнение (8.59) носит (в математике) имя Лежандра. Из теории следует, что это уравнение имеет решение только тогда, когда выражение при квадрате синуса

где 1=0, 1, 2,... — положительные целые числа и нуль, причем и m = 0, ± 1, ± 2,..., ± /.

Вводя момент инерции ротатора /= 2ДГ2 (8.60), можно записать

Выражение (8.62) представляет собой собственные значения энергии жесткого ротатора; собственные функций (волновые) будут приведены далее в подразделе 8.5.7.

Таким образом, получен ответ на вопрос об энергии квантового ротатора: энергия вращательного движения может принимать только выделенные, дискретные значения (т.е. квантуется). Используя формулу (8.48), можно получить также и выражение для квадрата момента импульса

или

с тем же набором квантовых чисел / = 0, 1, 2, ... — орбитальные квантовые числа.

То есть квантование кинетической энергии жесткого ротатора связано с квантованием абсолютного значения момента импульса.

Выражение (8.63) и гиромагнитное отношение (введенное в подразделе 6.2.1) позволяет определить магнитный момент орбитального движения (состояния) электрона в одноэлектронном атоме. Так

как гиромагнитное отношение — = g— (здесь р, — орбитальный

L 2т

магнитный момент, a g — выраженное в единицах | е /2т орбитальное гиромагнитное отношение для электрона: g= 1), то орбитальный магнитный момент:

где =- = 9,27 • 10~24 Дж/Тл — «квант» магнитного момента — так назы-

ваемый магнетон Бора.

Общее решение уравнения (8.59) для функции 0(0) выражается с помощью специальных функций — полиномов Лежандра.

Из решения следуют два важных вывода. Один из них касается квантования энергии жесткого ротатора, другой — свойств векторов момента импульса в квантовой механике. Далее в подразделе 8.6 мы воспользуемся квантованием энергии ротатора. А сейчас в соответствии с нашей главной задачей рассмотрим свойства вектора момента импульса.

Ранее уже отмечалось, что если имеется возможность выделить какое-либо направление в пространстве, то с этим направлением соотносится ось Oz. Из полученных ранее результатов следует, что абсолютное значение L и проекция Lz вектора момента импульса L квантуются соответственно законам (8.63) и (8.51). Из них следует, что вектор L фиксирован в пространстве с точностью до угла, который он составляет с осью Oz (рис. 8.17). Этот закон получил название пространственного квантования. Вместе с тем никаких условий для других проекций L (Lx и Ly) наложено не было — квантовая механика таких ограничений не делает. Из математической теории уравнений Лежандра следует также условие (8.60) при одновременном ограничении (8.61). Как следует понимать это?

Так как /итах = /, а I < ф{1 +1), то проекция Lz = mb всегда меньше

модуля |Z| = |Z| = liyjl(l + 1) (за исключением случая 1=0, когда обе величины равны нулю). Это связано с тем, что в квантовой механике наряду с соотношениями неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса существует и другое ограничение — на величину и компоненты вектора момента импульса. Действительно, выписанные соотношения для L и Lz показывают, что вектор L не может быть ориентирован строго вдоль оси Oz (его проекция всегда меньше длины вектора), и вместе с тем нет никаких способов определить две другие координаты этого вектора. Ситуация схематично изображена на рис. 8.17.

Поэтому нет необходимости давать наглядное представление данного факта: такова суть модели. Иногда делаются некоторые попытки

Рис. 8.17.

Пространственное квантование вектора момента импульса

представить ситуацию как прецессию (вращение) вектора L вокруг выделенного направления, т.е. оси Oz. Эта интерпретация не верна: ведь с прецессией связана некоторая частота (прецессии) и, соответственно, энергия, тогда как никакой дополнительной энергии, связанной с пространственным квантованием и представляемым вращением, нет. Более приемлема модель «равномерной размазанности» вектора L по конической поверхности при фиксированном угле раствора конуса, но и эта интерпретация не дает сколько-нибудь плодотворной основы для дальнейшего развития модели. Тем не менее делаются попытки представить законы пространственного квантования в приведенном выше смысле.

При данном орбитальном квантовом числе / квантовое число /И/ может принимать 21 + 1 значений. Поэтому вектор момента импульса может «лежать» на одном из 21 + 1 конусов. Угол раствора конусов г) (угол между вектором L и осью Oz) для разных mt при фиксированном / составляет величину, определяемую из соотношения

где /и, — одно из значений квантового числа т.

Рассмотренные свойства квантово-механического момента импульса представляют условия его так называемого пространственного квантования, схема которого для случая / = 2 (w = 0, ±1, ±2 — всего 5 состояний) приведена на рис. 8.18 (правая половина вертикального сечения конусов, подобных показанному на рис. 8.17), где возможные проекции Lz момента импульса L на ось Oz выражены в единицах й.

Неклассические особенности возникают также при сложении векторов моментов импульса нескольких ротаторов (электронов). Все особенности, описанные ранее, сохраняются и в этом случае.

Предположим, надо сложить два вектора i, и так, чтобы получить

третий (результирующий) вектор L. Складываемые векторы не могут быть точно параллельными или антипараллельными друг другу.

Вектор момента импульса L и его возможные проекции на ось Oz (пространственное квантование)

Рис. 8.18. Вектор момента импульса L и его возможные проекции на ось Oz (пространственное квантование)

Действительно, так как л/(11 + l2W +/2 +1) < < Т^П) + ^и^Т), то результирующая длина вектора L всегда меньше суммы абсолютных величин векторов Ц и (L < L + + Дг) - Формально можно записать L = Ц +1^, где каждое из слагаемых по модулю равно L = +1) и L2 = +1), а вектор

суммы записывается по аналогии как L = = hyjl(l +1). Описываемые векторы имеют проекции на выделенную ось Oz, которые соответствуют приведенными законами квантовой механики: Llz = mxti, Llz = m2h, Lz — mb и m„ax = l для всех трех векторов (для каждого свое значение). Поскольку проекции представляют собой скалярные величины, проекция результирующего вектора образуется как алгебраическая сумма проекций слагаемых векторов. Максимальное значение проекции вектора L равно Lz = hi, где / = Д + /2. И наоборот, минимальной длина вектора L будет, если проекции имеют противоположные знаки, т.е. Lz = = hlx-l2. Таким образом, при сложении векторов момента импульса Ц + L^ результирующий вектор L в зависимости от взаимной ориентации слагаемых может принимать все значения от максимального до минимального, определяемого квантовыми числами /, принимающими все значения через единицу от / = 1Х + /2 до / = |/j -12.

Квантовомеханическое сложение двух векторов момента импульса

Рис. 8.19. Квантовомеханическое сложение двух векторов момента импульса

/,=/l+/2,/1 + /2-l,...,|/l-/2|

На рисунке 8.19 приведена схема, иллюстрирующая такое сложение.

Так как вектор магнитного момента (1 жестко связан с вектором момента импульса L, все сказанное справедливо и для него.

Главный вывод из проведенного рассмотрения заключается в том, что векторы в квантовой механике складываются по определенной схеме. Процедуру Lx + Li = L следует понимать как сложение двух векторов момента импульса в третий вектор, подчиняющийся, так же, как и векторы-слагаемые, всем изложенным законам квантовой механики. Вместе с тем оказывается, что такое геометрическое сложение нет нужды проводить последовательно: сложение векторов сводится к алгебраическому сложению квантовых чисел! Иногда приведенное ранее сложение векторов отображают символом «/| + /2», определяющим необходимость комбинировать квантовые числа /, и /2 по приведенному выше правилу.

После введения в рассмотрение спина электрона (в подразделе 8.5.5) нам придется иметь дело с двумя квантовыми числами, характеризующими проекции орбитального и спинового моментов импульса — /Я/ и ms соответственно. Первое характеризует орбитальное состояние, второе — спин.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы