Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Собственные значения проекции Lz орбитального момента импульса электрона

Как было показано ранее, кинетическая энергия свободной частицы образует непрерывный спектр, т.е. может принимать любые значения. Если в рамках квантовой механики поставить вопрос: дискретен или непрерывен спектр значений кинетической энергии свободного вращения молекул (в рамках формализма жесткого ротатора), а также электрона в атоме, то ответ a priori не очевиден. Чтобы ответить на этот вопрос, нужно, как это принято в квантовой теории, проанализировать решение уравнения Шредингера (8.44) для жесткого ротатора с учетом стандартных условий, накладываемых на волновую функцию.

Применительно к орбитальному вращению электрона в атоме водорода надо найти решение для функции Ф(ф) в составе '{'(г, 0, <р) (8.42). Если обратиться к рис. 8.16, можно допустить, что она описывает вращение материальной точки А с моментом импульса Z в плоскости хОу, т.е. в плоскости, перпендикулярной оси z? Следовательно, она описывает поведение проекции момента импульса Z на ось Oz, т.е. Lz.

Ранее было показано, что поступательное движение свободной частицы описывается волновой функцией v(x) = oexp^-|-^xj (временная зависимость здесь по-прежнему предполагается, но роли в анализе не играет). Если, базируясь на совпадении структуры формул поступательного и вращательного движений (см. подраздел 1.2.9, табл. 1.1), записать волновую функцию для ротатора, заменив рх на Lz, а также х на ф, то получим:

где а — нормировочная константа.

Условие периодичности этой волновой функции имеет вид

Действительно, один оборот должен привести систему в исходное положение, поэтому, комбинируя (8.49) и (8.50), получаем

и далее, деля на аехр^Егф j * 1 и используя формулу Эйлера,

Из последнего условия следует — ? 2п = т ? 2к, где т = 0, ±1, ±2,

h

±3,... — любое целое число. Отсюда окончательно получается

Таким образом, без решения уравнения Шредингера, исходя только из условия периодичности волновой функции, получен важный вывод: проекция момента импульса на выделенную ось Ozможет принимать только определенные, кратные ft значения. Целое число т, равное 0, ± 1, ±2, ±3 и т.д., — это квантовое число, определяющее величину проекции Lz. Сама постоянная Планка ft выступает здесь как «квант» (минимальная величина) момента импульса. Единица его измерения Дж • с, называемая «действием», является естественным нижним пределом значений момента импульса.

Функциональная часть волновой функции Ф(ф) выражается, следовательно, формулой

Значение константы а может быть найдено из условия нормировки т.е. а2 = (1/2л). Значит,

Этим рассмотрением завершен анализ квантово-механического подхода для выявления поведения угловой функции Ф(ср) в задаче об атоме водорода.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы