Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Уравнение Шредингера для атома водорода: переход к сферическим координатам и разделение переменных

Поместим начало координат в то положение, в котором находится положительно заряженный протон ядра атома водорода, который будем считать неподвижным точечным зарядом (адиабатическое приближение). Соответственно сказанному выше уравнение Шредингера для такого атома имеет вид (8.12)

где и — приведенная масса (см. формулу (1.87)) электрона и ядра[1] (близкая к массе электрона); Щх, у, z) — его потенциальная энергия в кулоновском поле протона, равная (см. подраздел 5.14, формула (5.30))

где г = yjx[2] + у[2] +z[2]; е — заряд электрона; so — электрическая постоянная.

Теперь выражение (8.38) для потенциальной энергии надо подставить в уравнение Шредингера и решить его.

Как указывалось, это одна из немногочисленных задач квантовой механики, точно решаемых в аналитической форме, — ее решение требует знания специальных функций. Последовательное решение не является нашей целью: мы пойдем по пути наглядных упрощений, стараясь не терять при этом стройности и строгости изложения.

Так как потенциальная энергия зависит только от расстояния между электроном и протоном, первое, что нужно сделать на пути решения поставленной задачи, это перейти от декартовых (х, у, z) к сферическим (г, 0, ф) координатам[2].

Связь между декартовыми и сферическими координатами произвольной точки А в пространстве, положение которой характеризуется радиус-вектором г (рис. 8.16), такова

Связь декартовых и сферических координат

Рис. 8.16. Связь декартовых и сферических координат

При этом элемент объема dV= dxdydj при переходе к сферическим координатам преобразуется в dV = /^(sin 0)drdcpd0. Обратим внимание на то, что часто при решении квантово-механических задач одна из трех координатных осей, чаще всего OZ, формально выделяется из всех. Говорят, что эта ось является выделенной. Во всех случаях, когда атом находится под влиянием внешних воздействий, ось Oz направляется вдоль характеристики воздействия — векторов напряженности электрического или магнитного полей и др.

В этом случае оператор Лапласа в уравнении Шредингера (8.12) тоже надо представить в сферических координатах:

В результате уравнение для атома водорода в этих координатах примет вид:

Представим функцию ?(г, 0,9) в виде произведения трех независимых друг от друга функций, где каждая функция-сомножитель зависит только от одного аргумента: либо от длины г радиус-вектора г, либо от одного из углов 0 или 9:

так называемая угловая часть волновой функции. Такое разбиение, вообще говоря, не является самоочевидным, но оно справедливо для данной задачи. Удобство такого представления ? (г, 0, ф) заключается в том, что подстановка волновой функции в форме (8.42) в уравнение (8.41) разбивает его на три независимых друг от друга уравнения. Как можно, например, разделить уравнение на зависимые только от углов 0 и от ф части, будет показано далее. Функция R(r) называется радиальной частью волновой функции.

Рассмотрим сначала движение электрона по поверхности сферы при фиксированном значении радиус-вектора г. Этому соответствует

г = const и ф) _ q _ так как у(05 ф) ф /(/•). В результате можно

дг

будет найти распределение электронов на сфере выбранного радиуса. В уравнении (8.41) первый член становится равным нулю, и уравнение для угловой части волновой функции принимает вид

Теперь задача сводится к анализу движения частицы по поверхности сферы на фиксированном расстоянии от начала координат и носит название задачи о жестком ротаторе. Классический жесткий ротатор представлен в подразделе 1.2.9 (см. рис. 1.17). Напомним, что вектор момента импульса L орбитального движения электрона (в рамках воровской модели атома он квантуется) определяется по формуле

Он направлен перпендикулярно векторам г и р = ти. Если угол между векторами г и р составляет 90°, то величина момента импульса

В подразделе 1.2.9 было показано, что вращение двух масс т и т2, находящихся на расстоянии d друг от друга, вокруг неподвижного цен-

, „ т,т2

тра масс может быть заменено вращением одной массы р = —

т +т2

(которую называют приведенной массой) вокруг оси, отстоящей от р на то же расстояние d. Результат проведенного анализа одинаково применим и к вращению двухатомной молекулы относительно ее центра масс, и к «вращению»[6] электрона относительно ядра. Интересно еще раз отметить, что приведенная масса атома водорода близка к массе электрона, а не к массе протона, как это может показаться. Момент инерции жесткого ротатора

Здесь уместно будет сделать одно важное замечание. Ведь только в полуклассической модели атома Бора электрон представляется обращающимся вокруг ядра. В этом случае его движение характеризуется такими классическими свойствами, как момент импульса, кинетическая энергия вращения и др. Как мы уже знаем, характеризовать движение электрона как вращение по орбите (т.е. движение по определенной траектории) в квантовой механике в силу принципа неопределенности нельзя, это было показано в подразделе 8.2. Вместе с тем почти все классические характеристики вращательного движения сохраняются и в квантовой механике. Однако дать им здесь такое же наглядное представление, как в классической физике, не представляется возможным.

  • [1] В уравнение Шредингера для атома водорода входит именно приведенная масса электрона и ядра (а не масса электрона) потому, что при движении электрона ядро, строгоговоря, несколько смещается относительно центра масс системы, меняя ее энергетику.Использование вместо приведенной массы массы электрона дает погрешности в определении энергии атома водорода в 0,05%.
  • [2] Несмотря на громоздкость представления уравнения (8.12) в сферических координатах, его решение и анализ результатов оказывается проще, чем в декартовых.
  • [3] Несмотря на громоздкость представления уравнения (8.12) в сферических координатах, его решение и анализ результатов оказывается проще, чем в декартовых.
  • [4] Несмотря на громоздкость представления уравнения (8.12) в сферических координатах, его решение и анализ результатов оказывается проще, чем в декартовых.
  • [5] Несмотря на громоздкость представления уравнения (8.12) в сферических координатах, его решение и анализ результатов оказывается проще, чем в декартовых.
  • [6] Слово вращение взято в кавычки потому, что в квантовой механике, где нет понятиятраектории, принято говорить о состояниях микрообъектов.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы