Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Потенциальная ступень

Полученные нами в предыдущих подразделах результаты могут помочь качественно проанализировать и другие задачи квантовой механики, не имеющие аналогов в классической физике. В этом подразделе мы рассмотрим кратко потенциальную ступень, а в следующем — потенциальный барьер.

На рисунке 8.10 изображен график зависимости потенциальной энергии Щх) силового поля, в котором находится частица, от координаты, называемый в квантовой механике прямоугольной потенциальной ступенью: U(x) = 0 при х < 0 и U{x) = U0 при х > 0. Частица движется в сторону ступени (налетает на нее) слева направо. Квантово-механическая задача о состояниях такой частицы может быть решена при энергии Е частицы больше (рис. 8.10, а) или меньше (рис. 8.10, б) высоты U0 потенциальной ступени.

При Е > U0 (низкая ступень) движение частицы инфинитно (см. подраздел 8.4.1); мы теперь знаем, что в этом случае энергия Е имеет непрерывный спектр значений. Как и в предыдущей задаче, как в области I, так и в области II решения уравнения Шредингера представляются в виде бегущих волн: ч/(х) = Д не'*1,11*+ 2?! не-'**’11*. Здесь А характеризует амплитуду вероятности для падающей (налетающей на ступень в направлении оси Ох) волны; — то же для отраженной от ступени волны; Аи — характеризует амплитуду волны, прошедшей в область II слева направо; Вп — то же, но для волны, идущей в области II справа налево из бесконечности в отрицательном направлении оси Ox; kt=( 1 /h)yjlmE и кп = (1 /h)y]2m(E~ий). Какие из четырех приведенных решений отражают физический смысл задачи? Очевидно, что из набора решений следует исключить волну, распространяющуюся в области II из бесконечности справа налево, так как по условию задачи частица движется в противоположном направлении. Для этого следует принять Вп = 0. Решение же с Въ описывающее отраженную волну, существует (имеет место надбарьерное отражение, возникающее несмотря на то, что полная энергия частицы больше высоты потенциального барьера). Последнее обстоятельство является особенностью объектов микромира, связанной с их волновыми свойствами. Эта особенность и отражается в решении уравнения Шредингера для рассматриваемого случая. Оставляя в качестве решения три волны — падающую, отраженную, прошедшую (на рис. 8.10, а сверху изображены действительные части падающей (Rey4Ie'Ar,x) и прошедшей (Re Апе‘киХ) волн), можно ввести в рассмотрение коэффициент отражения и коэффициент прохождения для частицы, налетающей на такую потенциальную ступень.

Прямоугольная потенциальная ступень высотой U

Рис. 8.10. Прямоугольная потенциальная ступень высотой U,,: а — Е> и0;б — Е< U0

Коэффициент отражения R, определяющий вероятность отражения частицы от низкой потенциальной ступени, получается, с использованием граничных условий, в виде R=(k1-ku)/(kl + kll)2 =

+ Из-

за «перестановочности», т.е. «нечувствительности» результата к перемене индексов I и II в к и кп, оставляющей неизменным R, следует независимость вероятности отражения от направления движения частицы. Также для определения вероятности прохождения частицей низкой потенциальной ступени можно получить коэффициент прохождения D = 4klkll/(kl+kn)2 =

= 4{yl^UjE)/(l + yjrUjE)2 и относительный показатель преломления п как отношение длин де-бройлевских волн (обратных волновых чисел) п = = Х|//.ц = ки/к[ = yJl-Uo/E. Суммарная вероятность получается R + D = 1, что в классическом случае означало бы, что частица либо отразится от ступени, либо пройдет в область II.

Как будет вести себя частица, движущаяся вдоль оси х, если Е < U0 (высокая потенциальная ступень (рис. 8.10, б))? Не будем решать задачу последовательно, но проанализируем основные результаты решения с использованием стандартных условий, которым должна удовлетворять волновая функция. В частности, используем условие ее непрерывности на границе ступени (т.е. при х = 0).

Как и в предыдущих случаях, разобьем задачу на две: х < 0 (область I) и х > 0 (область II). В области I движение частицы также инфинитно — оно описывается периодической волновой функцией v|/(x) с амплитудой падающей волны А и постоянной, не зависящей от х, вероятностью быть обнаруженной в любой точке этой области ^падМ!2 = = Aj2 и амплитудой отраженной волны В с постоянной вероятностью

|Уютр(*)|2 12-

В области II полная энергия Е < Щ, поэтому здесь справедливо все то, о чем говорилось применительно к частице за пределами потенциальной ямы конечной глубины (см. подраздел 8.4.2). Уравнение Шредингера будет подобным приведенному ранее (8.28). Удовлетворяющее физическому смыслу решение этого уравнения есть |/ц(х) = = /4цехр(—кпх), которое соответствует уменьшению вероятности обнаружить частицу по мере ее удаления от точки х = 0 на границе ступени (нефизичное бесконечно растущее с х > 0 решение обнуляем условием Ви = 0). Из условия непрерывности волновой функции следует, чтоЛ[ =Ац.

На рисунке 8.10, б на фоне зависимости U(х) приведен график действительной части волновой функции — падающей волны в области I и экспоненциально убывающая волновая функция в области II. Видно, что вероятность обнаружить частицу под потенциальной ступенью экспоненциально убывает по мере ее удаления от границы.

Если, как и в рассмотренном ранее случае, Е> U0, ввести коэффициент отражения R, то в данном случае высокой ступени, где Е < U0,

окажется, что R = (kl-ikn)/(kl +/&п)|2 =1, что означает 100% отражение, а для коэффициента прохождения D = 0, т.е. прошедшей в область II волны нет. Таким образом, и для высокой ступени R + D= 1.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы