Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Волновая функция и уравнение Шредингера

Вероятностная трактовка волновой функции и квадрата ее модуля

Сказанное ранее делает необходимым разработку совершенно иного подхода к описанию движения и состояния микрообъектов, чем это имеет место в классической механике. Первый шаг в этом направлении был сделан в начале XX в. австрийским физиком Э. Шрединге- ром, предложившим (вместе с П. Дираком и с В. Гейзенбергом) идею волновой функции и уравнения, которому эта волновая функция подчиняется.

Было предложено описывать состояние микрочастицы волновой функцией у (пси-функция). Зная волновую функцию, например, для электронов в атоме, можно определить их состояния при изменении химических связей между атомами, вероятность образования тех или иных молекулярных структур, судить о прочности связей атомов в молекулах и т.д. Таким образом, волновая функция электронов — ключ к решению многих принципиальных задач химии.

Тем не менее сама пси-функция не имеет конкретного физического смысла, а представляет некоторое математическое выражение, с помощью которого можно найти вероятность тех или иных физических величин, описывающих с ее помощью поведение микрообъектов (электронов в атомах и молекулах и др.). Для вычисления этих вероятностей необходимо пользоваться не самой волновой функцией, а величиной у|Л где у* является функцией, комплексно-сопряженной с у, так как |/ в общем случае является функцией комплексной. В частном случае, когда волновая функция представляется действительной величиной, произведение уу* равно у2. Величина yv/ представляет собой квадрат модуля волновой функции, т.е. |д/ = | у р.

Напомним, что комплексно-сопряженным к комплексному числу вида а + ib = Ae'v, где а и b — произвольные действительные числа; / = -7-1 — мнимая единица; А — длина (или модуль) вектора, которым представляется это число на комплексной плоскости xOiy, а ср — угол, который этот вектор составляет с осью Ох, — является другое комплексное число, отличающееся от данного противоположным знаком при мнимой части (т.е. перед /'). Так, для комплексного числа а + ib комплексно сопряженным к нему числом является (а + ibУ = a — ib, а для a — ib = Ae~ 'ч> комплексно-сопряженным будет (а — ib)" = = а + ib = Ае'ч>. При этом произведение (а + ib)(a — ib) = а2 + b2 = А2 представляет собой квадрат модуля комплексного числа а + ib (или аib). Очевидно, что для действительного числа а комплексно-сопряженным будет оно само, а квадрат его модуля это а2 = А2, т.е. просто квадрат действительного числа.

В общем случае волновая функция |/ является функцией координат и времени, т.е. у = у(х, у, z, 0, но в дальнейшем рассмотрении нас будут особенно интересовать задачи, в которых она разделяется в форме произведения на зависящую от времени часть у(/) и координатную часть у(х, у, z), в которой зависимости от времени нет.

Физический смысл квадрата модуля | у р волновой функции состоит в следующем: вероятность dw(x, у, z, t) обнаружить частицу в объеме d V— djcdyd^ в окрестности точки с координатами x,y,ze момент времени 1 пропорциональна квадрату модуля |ф(х, у, z, t) р, т.е.

Квадрат модуля волновой функции |/(х, у, z) р представляет собой плотность вероятности {т.е. вероятность, приходящуюся на единичный объем, или элементарную вероятность, отнесенную к элементу объема, окружающего данную точку) обнаружить частицу в точке х, у, z

Как указывалось выше, волновая функция зависит от времени, ибо физика рассматривает состояние микрообъектов (движение частицы или волны де-Бройля) во времени, однако, здесь мы ограничим себя рассмотрением только установившихся стационарных процессов, в которых интересующие нас физические характеристики объекта исследования (его полная энергия Е, например) оказываются не зависящими от времени. Будем считать силовые поля, в которых находятся частицы, стационарными. В большинстве случаев для реально малых промежутков времени (в каждой задаче эта «малость» своя) это вполне допустимо, как, например, допустимо считать неизменным силовое поле Земли на протяжении жизни поколения людей или кулоновское поле ядра за время в 1 секунду в процессе перехода атома из возбужденного в основное состояние за время ~10-8 с. Можно строго показать, что в случае, когда потенциальная энергия U(x, у, z, t) силового поля, в котором находится частица, не зависит явно от времени, являясь функцией только координат, т.е. Щх, у, z, t) = U(x, у, z), волновая функция |/(х, у, Z, t) может быть представлена в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит только от координат, а другой циклически (через частоту со = 2лс/Х волны де-Бройля) зависит от времени, т.е.

где Е= hсо — полная энергия частицы, которая в стационарном силовом поле остается постоянной.

Нетрудно видеть, что в этом случае

т.е. квадрат модуля волновой функции также не зависит от времени (при этом сама волновая функция от времени зависит, т.е. движение «волны вероятности» есть!).

Мы ограничим себя также нерелятивистскими задачами, т.е. такими задачами, скорости перемещения частиц в которых существенно меньше скорости света. И, наконец, на первых стадиях рассмотрения мы не будем учитывать спин электрона.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы