Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Электромагнитная волна

Вернемся снова к уравнениям (6.132) и (6.135). В вакууме токов проводимости нет, поэтому последнее уравнение упростится, и тогда симметрия между магнитными и электрическими явлениями восстанавливается в полной мере. Два соответствующих уравнения приводятся вместе

Из них со всей очевидностью вытекает, что изменяющееся во времени магнитное поле представляет собой источник возникновения электрического поля, тогда как меняющееся во времени электрическое поле возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле. Все это вместе объясняет возникновение электромагнитной волны. Причем для ее возбуждения нужно что-то одно (любое переменное поле), например переменное электрическое поле, легче поддающееся технической реализации.

Рассмотрим принцип работы дипольной антенны, т.е. такого радиотехнического устройства, которое может генерировать электромагнитное излучение (переменное электрическое и магнитное поле).

Известно, что в электрическом контуре, содержащем индуктивность L и емкость С (рис. 6.45), могут поддерживаться электрические колебания с периодом, зависящим от величин ? и С.

Излучение дипольной антенны. Слева вверху — колебательный контур

Рис. 6.45. Излучение дипольной антенны. Слева вверху — колебательный контур

«Развернем» теперь обкладки конденсатора, придав ему вид дипольной антенны. Конечно, величина емкости конденсатора при этом изменится, не повлияв, однако, на принцип работы устройства в целом. Пусть в некоторый момент времени левая сторона антенны (левая обкладка исходного конденсатора) заряжена положительно, а правая, соответственно, отрицательно. В плоскости ху возникнет электрическое поле, и создаваемое им возмущение немедленно начнет движение вдоль оси х с некоторой большой, но конечной скоростью. Эта скорость равна скорости света. Через четверть периода колебаний в контуре заряд на двух сторонах конденсатора-антенны станет равным нулю, силовые линии уже созданного электрического поля замкнутся, но возмущение продолжит начатое им движение. Еще через четверть периода антенна зарядится противоположно тому, что было в начале рассмотрения. Снова возникнет электрическое поле с силовыми линиями противоположного направления. Через три четверти периода антенна снова станет незаряженной, и силовые линии второго «колечка» замкнутся, но в противоположном направлении. И оно, это «колечко», пустится «догонять» первое, конечно, никогда его не догоняя, ибо двигаются они с одной и той же скоростью с. Через период все повторится.

Соответственно уравнению (6.140) изменяющееся во времени электрическое поле порождает переменное магнитное поле в плоскости, перпендикулярной возникшим «колечкам» электрического поля. Возникнут аналогичные «колечки» магнитного поля, двигающиеся вместе с первыми. Иногда эта картина представляется в виде сцепок, изображенных на рис. 6.46, а. Однако более реалистичной картиной является та, что изображена на рис. 6.46, б: на ней в декартовых координатах приведены две взаимно перпендикулярные плоскости, в которых происходят колебания векторов напряженности электрического Е и магнитного Я (магнитной индукции В) полей. Колебания распространяются со скоростью с. Соответственно сказанному в подразделе 2.8.3, энергия, переносимая электромагнитной волной, пропорциональна квадрату амплитуды колебания вектора Е. Отметим (без доказательства), что плотность энергии такой волны определяется векторным произведением [ЕВ] = j, где вектор j — плотность переносимой волной энергии (см. также формулу (2.154)) — его называют вектором Пойнтинга (Умова — Пойнтинга в отечественной литературе).

Электромагнитная волна

Рис. 6.46. Электромагнитная волна: а — схематическое представление связки электрического и магнитного полей; б — колебания векторов напряженности электрического и магнитного поля в электромагнитной волне

Механизм возникновения электромагнитного излучения при энергетических переходах в электронной и ядерной подсистемах атомов, естественно, отличаются от описанного. Однако все основные электромагнитные признаки излучения остаются теми же, что и для рассмотренной электромагнитной волны.

Векторная алгебра дает нам возможность записать уравнения Максвелла в дифференциальной форме, т.е. охарактеризовать электромагнитное поле в точке. Это позволяет наиболее отчетливо выявить физический смысл уравнений и их значение для понимания законов электродинамики.

Начнем с уравнения, описывающего закон Остроградского — Гаусса, который в интегральной форме с использованием вектора D имеет вид

Для перехода к дифференциальной форме напомним, что в математике дивергенцией вектора D в точке, задаваемой радиус-вектором г, называется предел, к которому стремится левая часть уравнения (6.141) при стягивании SV) в точку, т.е.

Из векторной алгебры известно также, что обозначение div представляет собой дифференциальный оператор V первых частных производных вектора (у нас вектор D) по координатам. В применении к дивергенции D в векторной и координатной (декартовой) форме его можно записать как

Соответственно, div D есть скалярное произведение этого оператора V и вектора D. Фактически дивергенция определяет поток вектора D, «вытекающий» из точки, положение которой задается радиус- вектором г. Интегрируя дивергенцию вектора D по объему V, мы получаем суммарную мощность источника, т.е. поток через замкнутую поверхность S, охватывающую этот объем

Это соотношение в математике называют теоремой Остроградского. Из него и (6.141) следует, что

_ )

Дивергенция вектора индукции {электрического смещения) электрического поля в точке равна плотности электрического заряда {т.е. мощности источника электростатического поля) в этой точке. Это и есть знакомая нам ранее теорема Остроградского — Гаусса, представленная в дифференциальной форме. Отсюда же следует, что силовые линии электростатического поля исходят из положительного электрического заряда (истока), заканчиваются в точке расположения отрицательного электрического заряда (стока — дивергенция имеет в стоке отрицательный знак) или уходят в бесконечность.

Исходя из сказанного и имея в виду, что в природе нет магнитных зарядов, соотношение, подобное (6.141), для магнитного поля можно записать в виде BdS = 0, или в форме (6.145), т.е.

s

что также является одним из уравнений системы уравнений Максвелла. Это соотношение говорит также о том, что силовые линии магнитного поля замкнуты.

Следующим является уравнение закона электромагнитной индукции (6.60)

Преобразуем в дифференциальную форму и его.

Напомним, что ротором вектора Е называется предел, к которому стремится левая часть уравнения (6.147) при стягивании контура L (и площади S, «натянутой» на этот контур) к нулю, т.е. (для вектора напряженности электрического поля Е)

Интегрируя rot Е по поверхности S, получаем циркуляцию вектора Е по контуру, на который эта поверхность натянута

В математике это соотношение называют теоремой Стокса. Сравнение этого выражения с (6.147) дает

т.е. ротор вектора напряженности электрического поля в точке равен производной по времени от магнитной индукции поля в той же точке. Отсюда следует, что индукционное электрическое поле, в отличие от электростатического, является вихревым полем. Источником этого поля является переменное во времени магнитное поле. Используя ранее принятые операторные обозначения, rot Е можно представить в виде векторного произведения V и Е, т.е.

[V?] = -i.

Аналогичным образом может быть получено следующее уравнение Максвелла, связывающее между собой циркуляцию вектора напряженности магнитного поля с токами. Оно имеет (напоминаем, что в вакууме, где отсутствуют токи проводимости, упр = 0) вид:

Это значит, что источником магнитного поля является меняющееся во времени электрическое поле.

Целесообразно теперь привести всю систему уравнений Максвелла вместе: интегральная форма

дифференциальная форма

К приведенным уравнениям следует добавить еще и те, что связывают между собой напряженности полей ? и Я в вакууме с полями D и Z? в веществе:

Последние уравнения справедливы для изотропных сред. Для анизотропных сред аналогичные соотношения имеют тензорный характер (их мы не рассматриваем).

Последнее, что еще следует добавить к приведенным уравнениям, является связь (закон Ома в дифференциальной форме) между напряженностью электрического поля с плотностью тока

В этих уравнениях заключена вся классическая электродинамика.

Опираясь на приведенные ранее уравнения Максвелла, оценим скорость распространения электромагнитных колебаний. Как и всегда при решении сложной задачи, введем некоторые упрощения, т.е. проанализируем определенную физическую модель и посмотрим в дальнейшем, насколько она соответствует принятым представлениям. В данном случае нашей задачей является определение скорости распространения электромагнитной волны в вакууме

(или в воздухе, электрические и магнитные свойства которого несильно отличаются от «пустоты» — вакуума) так, чтобы она удовлетворяла уравнениям Максвелла. Запишем их в форме:

где Фд и Ф? — потоки векторов магнитной индукции и напряженности электрического поля соответственно.

Представим электромагнитную волну в виде ступеньки электромагнитного поля (с фиксированными по величине векторами Е и В, перпендикулярными друг другу), распространяющегося вдоль оси Ох с плоскостями колебаний вектора ЕхОу и вектора ВxOz (рис. 6.47, слева) со скоростью фронта «волны», которую нам и предстоит определить. Будем считать, что в определенный момент фронт «волны» достиг линии 1—2. Выделим в плоскости хОу воображаемый прямоугольный контур defg и оценим поток вектора В через площадку, ограниченную этим контуром. За время Л линия 1—2 сместится в положение 3—4. Площадь ЛА, ограниченная указанным контуром (затемненная область на рис. 6.47, слева), составляет АА = cAth, где h — длина отрезка 1—2; с At — расстояние, проходимое фронтом «волны» за время At. Так как В всюду перпендикулярен плоскости хОу, то

К выводу формулы для скорости распространения электромагнитной волны

Рис. 6.47. К выводу формулы для скорости распространения электромагнитной волны

Циркуляция вектора Е по контуру 1—2—4—3 (т.е. левая часть уравнения (6.156) равна просто Eh. Действительно,

так как на участках контура 2—4, 4—3 и 3—1 напряженность Е равна нулю (фронт «волны» до них еще не дошел). Сравнение выражений (6.156), (6.158) и (6.159) приводит к соотношению между абсолютными значениями векторов В и Е:

Продолжая рассматривать ту же модель, посмотрим, что происходит в плоскости xOz (рис. 6.47, справа). Снова выделим прямоугольный контур (теперь в плоскости xOz) и проделаем те же вычисления, что и в предыдущем случае. Циркуляцию вектора В (6.157) запишем в виде Bw (w — это длина отрезка 3—4), а поток вектора Е через площадку АА (т.е. ДФ?) в правой части этого выражения — в виде p0c0?wcM Дифференцируя поток вектора Е по 1 и сокращая на w результат подстановки в (6.157), получим:

Подставим в последнее выражение значение Е из (6.160) и, сокращая на В, получим: р0с0с2 = 1. Отсюда

Три основные константы электродинамики оказались связанными друг с другом. Подставляя числовые значения постоянных р0 и so, получим для скорости с электромагнитной волны (света, в частности) в вакууме величину 2,998 • 108 м/с. Совпадение этой величины с экспериментом явилось триумфом теории Максвелла.

Аналогичный результат может быть получен с использованием более строгой модели. Можно показать, что распространение электромагнитных волн в среде с диэлектрической проницаемостью к и магнитной восприимчивостью р происходит со скоростью

(во всех приведенных выше соотношениях рис присутствуют в виде сомножителей при ро и во). Имея в виду, что показатель преломления п вещества представляет собой отношение скоростей распространения электромагнитных волн в вакууме и в среде соответственно (п = и/с), получим

В заключение целесообразно привести шкалу электромагнитных волн, сопоставив их по энергии, частоте и длине волны (табл. 6.3). В последующих главах будет показано, что электромагнитной волне соответствует поток частиц-квантов, называемых фотонами и характеризуемых определенной энергией (частотой, длиной волны). В таблице 6.3 эти энергии, выраженные в джоулях (Дж) и электрон-вольтах (эВ) приведены в виде логарифма численного значения в первом и втором столбцах. При всем многообразии и разных свойствах все эти волны представляют собой электромагнитные колебания одной природы, хотя их параметры различаются на 17 порядков величины. И еще, на что в по-

Шкала электромагнитных волн

Таблица 6.3

следующих главах будет обращено особое внимание, — это энергетические свойства (имеется в виду энергетический спектр) атомов и молекул, а также и ядер, охватывает приведенный в таблице диапазон электромагнитных волн так, что каждому рассматриваемому далее физическому методу исследования вещества соответствует свой интервал энергий и своя научная задача. В таблице 6.3 в трех правых столбцах обозначены спектральные области, соответствующие диапазонам волн, источники их возбуждения и датчики наблюдения и регистрации, широко используемые в технической и аналитической практике. Физические основы соответствующих методов будут рассмотрены в главах 9 и 11.

Уравнение непрерывности в электродинамике

Из уравнения (6.151) системы уравнений Максвелла следует, что

rotH(r) = jnp(r)+D(r). Применим операцию дивергенции к этому уравнению и получим

Из векторной алгебры известно, что дивергенция ротора для любого вектора равна нулю, поэтому

Из первого уравнения Максвелла (6.153) (теорема Остроградского — Гаусса) следует, что div?)(r) = р(г), поэтому последнее равенство может быть переписано в виде

Это и есть уравнение непрерывности (неразрывности) в электродинамике.

Полученное уравнение непрерывности показывает, что заряд, уходящий из объема проводника (или с поверхности пластины конденсатора), уменьшает на соответствующую величину общее количество заряда в объеме (или на поверхности) — это одна из форм закона сохранения заряда.

Подобное уравнение было нами получено при рассмотрении гидродинамических процессов в главе 3 — соотношение (3.19), где оно выражает закон сохранения массы в потоке.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы