Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Локальное поле в диэлектрике. Поле Лоренца

Локальное поле, или, как его еще называют, микроскопическое или истинное поле, — это поле, действующее на данный конкретный диполь в диэлектрике. Как уже говорилось ранее, напряженность Елок локального поля представляется векторной суммой напряженностей

внешнего поля Ео и суммарного поля • Е h создаваемого всеми ди-

/

полями диэлектрика, за исключением того, на который это поле дей- ствует |?лок=?о + 2>1 Это поле сильно изменяется в пределах

межмолекулярных расстояний и вследствие теплового движения молекул изменяется также и со временем. Понятно, что вычислить Елок по приведенному определению невозможно из-за громадного числа диполей в макроскопическом объеме вещества. Однако если диэлектрик поляризован однородно, т.е. в любой его области поляризован- ность Р одинакова по величине и направлению, то можно, при определенных допущениях, вычислить значение локального поля.

Рис. 5.30.

Вычисление поля Лоренца: начальный этап

Д>

Прежде чем приступить к вычислению локального поля в диэлектрике, сделаем следующие замечания. Чем дальше расположен диполь (молекула, обладающая дипольным моментом) отточки, в которой вычисляется локальное поле, тем меньше его вклад в это поле (вспомним, что поле диполя уменьшается по закону Е ~ 1/г3, см. формулу (5.47)). Однако число таких диполей с расстоянием возрастает. Это позволяет суммирование по отдельным диполям заменить (на больших расстояниях) интегрированием, т.е. вычислить часть локального поля макроскопически. Для ограниченного числа диполей, находящихся на сравнительно малом расстоянии от данной точки, необходимо сохранить дискретное векторное суммирование дипольных моментов и вычисление этой части локального поля проводить микроскопически. В этом заключается компромиссный метод приближенного вычисления локального поля в диэлектрике по Лоренцу. Лоренц предложил выделить в однородно поляризованном диэлектрике сферу сравнительно малого радиуса R (рис. 5.30), внутри которой содержится ограниченное число диполей (порядка нескольких десятков).

Центр сферы Лоренца должен совпадать с точкой, в которой вычисляется локальное поле (точка О на рис. 5.30). Во внешнем поле Е0 произойдет поляризация диэлектрика, в том числе и выделенной сферы: положительные заряды сместятся по полю, отрицательные — против поля. Мысленно удалим теперь первоначально выделенную сферу из тела диэлектрика. Останется сферическая полость с распределенным по ее внутренней поверхности связанными зарядами (светлая область на рис. 5.30 и 5.31). Приближенное значение напряженности локального поля можно представить теперь в виде четырех слагаемых

Вычисление поля Лоренца

Рис. 5.31. Вычисление поля Лоренца: поляризация диэлектрика

где Ео — напряженность внешнего поля; Ех напряженность деполяризующего поля, создаваемого связанными зарядами, находящимися на внешней поверхности диэлектрика; Е2 — напряженность поля, создаваемого связанными зарядами, находящимися на внутренней поверхности сферической полости, вырезанной в поляризованном диэлектрике (поле Лоренца); Ег — напряженность поля, создаваемого диполями, находящимися внутри сферы Лоренца (поле ближайших соседей).

Напряженность электрического поля Еъ обусловленного связанными (поляризационными) зарядами на поверхности полости в однородно поляризованном диэлектрике, была впервые вычислена X. А. Лоренцом. Пусть имеется однородно поляризованный диэлектрик. Тогда в каждой точке такого диэлектрика поляризованность Р будет одинакова по величине и направлению. Внутри диэлектрика выделим сферу, названную сферой Лоренца, радиусом R. Объем этой сферы должен быть достаточно велик для того, чтобы все вычисления можно было бы выполнять, пользуясь макроскопическими (феноменологическими) характеристиками: поляризованностью Р и поверхностной плотностью связанных зарядов а'. Поляризация приведет к тому, что положительные заряды сместятся по направлению внешнего поля, а отрицательные — против поля (см. рис. 5.30). Мысленно удалим часть диэлектрика, заключенного внутри первоначально выделенной сферы. Из-за поляризации удаленными зарядами на внутренней стороне диэлектрика сохранятся связанные заряды, показанные на рис. 5.31, и противоположные по знакам зарядам, показанным на рис. 5.30. Поскольку диэлектрик поляризован однородно, то поле внутри образовавшейся полости также будет однородным. Это обстоятельство облегчает задачу, так как теперь достаточно вычислить напряженность электрического поля в одной точке, например, в центре сферы Лоренца.

Для вычисления напряженности поля Е2 в центре сферической полости следует знать распределение зарядов по ее поверхности. Поскольку это распределение будет обладать осевой симметрией, то ось Oz (под которой обычно понимают выделенное в пространстве направление, т.е. отличное от всех остальных) удобно провести по направлению радиуса. Направим радиус-вектор г под углом 0 к оси Oz и запишем нормальную составляющую вектора поляризованное™ в точке О как Рп = Рcos 0. Заметив, что поверхностная плотность ст' зарядов и нормальная составляющая вектора А численно равны (5.67), определим распределение поверхностной плотности заряда в зависимости от угла 0 как ст'(0) = Р cos0.

Выделим теперь на поверхности сферы Лоренца тонкое кольцо (сферический пояс) шириной AdO и с осевым (кольцевым) радиусом A sin 0 (рис. 5.32). В пределах этого кольца поверхностную плотность заряда можно считать неизменной и равной Acos 0. Тогда заряд dq, распределенный по кольцу, найдем умножив площадь шарового пояса (dA = 2 л A2 sin 0d0) на поверхностную плотность заряда, т.е. d q = а' - 2 л A2 sin 0d0 = Acos 0 2лА2 sin 0d0. Этот заряд с учетом пространственного распределения создает в точке О напряженность поля

Подставив сюда dq и произведя сокращение, получим:

Напряженность Е2 поля Лоренца найдем, проинтегрировав это выражение по углу 0 в пределах от 0 до л,

„ _ „ Интеграл можно вычислить, произведя за-

Рис. э.32. К вычислению к Г „ ,

поля Лоренца мену переменной cos 0 = /; тогда sin 0d0 = —d/.

Соответственно изменяются и пределы интегрирования: нижний с 0 на 1 (cos 0 = 1) и верхний с л на —1 (cos л = — 1). Если теперь поменять пределы интегрирования местами при этом изменить знак у интеграла на противоположный, то получим

или

Это и есть формула для поля Лоренца.

Напомним, что такая напряженность будет во всех точках внутри полости — поле ее полости однородно.

Как было показано ранее, сумма двух первых членов в выражении (5.88) для ?лок — это среднее макроскопическое поле Е в диэлектрике (E0 + Ei = Е). Для изотропных диэлектриков (газов, жидкостей, кристаллической системы — сингонии) поле ?3 равно нулю: мы будем рассматривать только такие диэлектрики. Поле Лоренца вычислено выше

Таким образом, приближенное значение локального поля можно записать в виде

Это выражение называется формулой Лоренца. Запишем формулу Лоренца также и в скалярной форме

Именно это выражение должно присутствовать во всех формулах, в которых фигурирует локальное поле.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы