Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Работа сил электростатического поля. Потенциал

Кулоновские силы, действующие между неподвижными зарядами, являются центральными и поэтому, консервативными, а поле этих сил — потенциальным. Действительно, работа центральной кулоновской силы, действующей на точечный заряд q, перемещающийся в электростатическом поле, созданном другим неподвижным точечным зарядом Q, не зависит от формы траектории движения, а определяется только начальным и конечным положением этого заряда q[1].

Докажем это. По определению работа dA силы F на перемещении d/ определяется как dA = Fdl = qEdl = qEdlcos а (рис. 5.13), где

dl cos a = dr. Тогд (здесь и да

лее, как и раньше, если это не оговорено специально, мы предполагаем, что е = 1, т.е. заряд находится в вакууме — в случае с > 1 в знаменателе выражений, вытекающих из закона Кулона, всегда появляется е — т.е. имеем более слабое, чем в вакууме поле).

Работа сил электростатического поля

Рис. 5.13. Работа сил электростатического поля

т.е. действительно работа Л12 не зависит от формы пути перемещения из точки 1 в точку 2, а только от положений начальной и конечной точки перемещения, г, и г2соответственно. Если заряд q перемещается по замкнутой траектории (/j=r2), то работа A = qj)E,dl = 0,

L

где Е/ = Еcos a — проекция вектора ? на перемещение dl. Тогда

Интеграл ^?,d/ — это циркуляция вектора

L

напряженности электростатического поля по замкнутому контуру L. Равенство нулю циркуляции вектора напряженности Е полю-

бому замкнутому контуру следует рассматривать как указание на потенциальный характер электростатического поля. Из уравнения ф E,dl = 0 следует, что силовые линии электростатического поля не мо-

L

гут быть замкнутыми (в противном случае при положительном обходе контура интегрирования интеграл ф ?,с1/ был бы не равным нулю — положительным). Они начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных (или уходят в бесконечность).

Работу сил электростатического поля можно представить как убыль потенциальной энергии1 Аи = U, — U2 = —AU. Сопоставляя это выражение с (5.28), потенциальную энергию заряда q в поле другого заряда

Q можно записать в виде Ur = -^0— + С. Если принять, что при г

4 пс0г

U(°°) = 0, то С = 0, и тогда потенциальная энергия заряда q, помещенного в поле другого точечного заряда Q, определяется по формуле

При одноименных зарядах q и Q имеем Ur > 0 — отталкивание, при разноименных qnQ— Ur<0 — притяжение.

Теперь можно ввести новую физическую величину, имеющую большое значение в теории электричества (вообще говоря, не только в электростатике) — потенциал.

Потенциал ф электростатического поля в данной точке поля — это скалярная физическая величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда, помещенного в эту точку

Потенциал поля точечного заряда

Поскольку U = <7<р, то для работы сил электростатического поля при перемещении заряда q из точки 1 в точку 2 имеем

1 Здесь мы используем обозначение потенциальной энергии символом U(как в главе 4).

Если считать ф(°°) = 0, то А°° = qq>, отсюда

Значит, потенциал поля в данной точке численно равен работе сил поля, совершаемой при перемещении единичного положительного заряда из этой точки в бесконечность.

Потенциал является скалярной энергетической характеристикой электростатического поля. Потенциал электростатического поля, созданного системой N неподвижных зарядов, подчиняется принципу суперпозиции, т.е. каждый из зарядов создает поле независимо от того, существуют ли в пространстве другие заряды или нет. Так как потенциал является скалярной величиной, потенциал поля в какой-либо точке, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей каждого из зарядов в отдельности:

Для потенциала распределенного заряда применяется интегральный аналог выражения (5.35)

с бф, соответствующим потенциалу точечного заряда.

С точки зрения распределения потенциала в пространстве электростатическое поле может быть графически охарактеризовано поверхностями равного потенциала, т.е. эквипотенциальными поверхностями, где ф = const (пунктирные линии на рис. 5.14 изображают эквипотенциальные поверхности).

Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Рис. 5.14. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности

Вследствие того, что напряженность Е и потенциал ф являются функциями точки в поле, задаваемой радиус-вектором г, между ними должна существовать связь. Найдем ее.

Элементарная работа сил поля может быть определена либо как cL4 = Fdl =

= qEdl = qE/dl, либо как dA = —d U = —qdф. Сравнивая их, получаем ?) — = -бф/dl.

Если поле создано сферически симметричным зарядом, то Ей ср являются функциями только г и

В случае одномерной (г -» х) задачи

В общем же трехмерном случае г{х, у, z),Е{г) и ср(г) в декартовой системе координат связаны соотношением

т.е. напряженность электростатического поля равна градиенту потенциала, взятому с обратным знаком (или просто антиградиенту потенциала). Отсюда видно, что вектор напряженности Е электрического поля всегда направлен по нормали к эквипотенциальным поверхностям (см. рис. 5.14).

Из выражений (5.36) — (5.38) следует, что потенциал ф(г) (в отличие от напряженности) не может быть прерывной функцией координат. Действительно, в противном случае, если функция ф(х) претерпевает разрыв, скажем, в точке с координатой х0, то согласно (5.37)

так как в этой точке Дх стремится к нулю, а Дф стремится к конечной разности — величине разрыва, т.е. напряженность поля Е(х0) в точке разрыва стремится к бесконечности, а в любой реальной системе этого быть не может.

Установленная нами связь между напряженностью электростатического поля и его потенциалом позволяет найти обратную зависимость — зависимость ф(г) по известной зависимости Е(г) для всех разобранных нами примеров. Действительно, из выражений (5.36) и (5.37) следует:

и

Подставляя сюда уже полученные нами выше функции Е(г) и Е(х), можно рассчитать зависимость ср от г и х. Константа С отражает то обстоятельство, что функция ср, как и потенциальная энергия, вводится с точностью до постоянной. Она выбирается так, чтобы обеспечить непрерывность функции ср(г) (или ср(эс)). Таким образом, рассчитывается потенциал для разобранных задач. Соответствующие графики приведены на рис. 5.6—5.11.

В верхней части рис. 5.10 изображена зависимость Е(х) = const для идеальной бесконечной равномерно заряженной плоскости. Как указывалось, для реальной плоскости конечных размеров (как, впрочем, и для любых других поверхностей с распределенным зарядом) такое поведение напряженности можно наблюдать только вблизи ее поверхности. В нижней части рисунка изображена зависимость Дср(х) для бесконечной положительно заряженной плоскости в виде Дср(х) = —кх, где к = а/2ео. Формальное интегрирование Е(х) по разные стороны от оси ординат (плоскости) дает ф(х) = ±кх + С. Представленная на рисунке замена ср(дг) —>Дср(х) сделана в предположении, что для скалярной функции, определенной с точностью до константы С, каковой является потенциал, знак во всех точках поля (для любых х в нашем случае) определяется знаком заряда плоскости, а при удалении от последней потенциал должен убывать (как это имеет место для потенциала точечного заряда и любой реальной системы, несущей распределенный заряд).

Для расчета разности потенциалов Лф интегрирование следует проводить в определенных пределах. Так, например, разность потенциалов на обкладках плоского конденсатора

где d — расстояние между обкладками (рис. 5.11).

Теперь мы знаем, что может быть решена и обратная задача: зная ф(т), можно рассчитать Е(г). Далее таким способом будет рассчитано поле диполя (см. подраздел 5.1.5): потенциал поля легче рассчитать, чем напряженность, по причине того, что потенциал — величина скалярная.

  • [1] Используя принцип суперпозиции электрических полей (см. подраздел 5.1.2), можнопоказать, что сказанное справедливо и для электростатических полей, образованныхлюбыми системами точечных и распределенных зарядов.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы