Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Теорема Остроградского — Гаусса

Одной из основных характеристик векторного поля в математике являются поток вектора через поверхность и циркуляция вектора по контуру. Приложение этих понятий к электростатическому полю оказывается чрезвычайно полезным. Введем сначала понятие потока 6Ф вектора напряженности Е через элементарную поверхность 65. В качестве начального шага заменим скалярную величину 65 (элемент поверхности) на векторную 65, умножением 65 на л — единичный вектор нормали: dS = dS ? п (как это сделано в подразделе 2.8.3, рис. 2.22). Векторная величина d5 характеризует не только площадь d5, но и направление нормали к ней. Тогда, элементарным потоком d<[) вектора напряженности электростатического поля Ё называется скалярное произведение вектора Ё на вектор (псевдовектор) элемента поверхности d5, т.е.

Раскрывая выражение скалярного произведения, получим

где а — угол между векторами Е и d5; Е„ — проекция Е на направление нормали п к элементу поверхности d5 (Е„ = Еcos а).

Из определения (5.7) и (5.8) видно, что поток 6Ф может изменяться от EdS до —EdS не только за счет изменения величины Е, но и за счет относительного расположения векторов Е и d5 (изменения угла а), т.е. быть положительным или отрицательным (и нулевым тоже).

Если поле создается точечным зарядом, то поток dO вектора напряженности Е пропорционален dQ — телесному углу, соответствующему d5 и отсчитанному от заряда. Телесный угол можно определить через часть пространства, охватываемого конической поверхностью (рис. 5.3 на примере сферической поверхности). Аналогично тому, как мерой угла dcp между пересекающимися в точке О прямыми является длина d/ дуги окружности, произвольного радиуса г, проведенной из точки О (рис. 5.3, а), отнесенная к этому радиусу, т.е.

мерой телесного угла df2 является площадь (рис. 5.3, б) сферической поверхности (с центром в точке О-в заряде, в нашем случае), очерченной произвольным радиусом г из точки О, отнесенная к квадрату этого радиуса

Рис. 5.3. Телесный угол

При d5 численно равной г2 (или при d5 -» S = R2, Q = S/R2), соответствующий телесный угол равен одному стерадиану.

Аналогично тому, как полный развернутый угол ф составляет 2л ра- 2?d / 2лг

диан (так как — =-= 2л), полный телесный угол

о г г

стерадиан или просто 4л.

Теорема Остроградского—Гаусса утверждает: поток вектора напряженности электростатического поля через любую замкнутую поверхность S, содержащую внутри себя электрические заряды равен алгебраической сумме зарядов, находящихся в объеме, ограниченном поверхностью S, деленной на с0. Эту воображаемую поверхность мы будем называть поверхностью Гаусса'.

1 Если область пространства, где находятся электрические заряды, представляет собой среду с диэлектрической проницаемостью г., то е0 в знаменателе нужно умножить еще и на с — поле в диэлектрике слабее, чем в вакууме в г. раз (см. формулу (5.2) и соответствующую сноску).

Докажем теорему на примере одиночного точечного заряда Q. Поместим его в точку О (рис. 5.4) и окружим заряд воображаемой сферической замкнутой поверхностью S — поверхностью Гаусса (может быть любой, но выбрана сферической из соображений сферической симметрии поля заряда — см. рис. 5.2), с центром в заряде Q (в точке О). Найдем значение элементарного потока с1Ф вектора Е через

К теореме Остроградского — Гаусса

Рис. 5.4. К теореме Остроградского — Гаусса

элемент d5 поверхности S Гаусса в точке А: 6Ф = E„dS. Направление вектора Е в точке А поверхности Гаусса, как и в любой другой точке этой поверхности, в силу сферической симметрии поля точечного заряда совпадает с направлением нормали к dS, а его величина |д| = Е = Е„ оказывается одинаковой везде на поверхности — из-за равноудаленное™ всех точек поверхности S от заряда Q и определяется выражением (5.2). Поэтому в точке А

(мы воспользовались определением телесного угла (5.10)). Проинтегрируем это выражение по всей сферической поверхности Гаусса и получим

или, используя определение потока вектора напряженности, получим

аналитическую формулировку теоремы

Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность в случае, когда заряд находится за пределами поверхности Гаусса равен нулю

Рис. 5.5. Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность в случае, когда заряд находится за пределами поверхности Гаусса равен нулю

Остроградского — Гаусса

В этом выражении S — любая замкнутая поверхность — поверхность Гаусса. Мы приняли ее сферической, однако, нетрудно обобщить наш результат на случай поверхности произвольной формы. На рисунке 5.5 внутри сферы Гаусса выделена пунктиром произвольная замкнутая поверхность S' (произвольную замкнутую поверхность можно построить и вне использованной нами поверхности S с включением в S' последней). Поток вектора напряженности электростатического поля через поверхность S' будет равен потоку через S, подобно равенству потоков жидкости через эти поверхности, роль источника которой играет источник электростатического поля — точечный заряд Q.

В формуле (5.14) справа стоит Q — заряд, заключенный внутри поверхности Гаусса, именно он входит в математическое выражение теоремы Остроградского — Гаусса. Если заряд располагается вне этой поверхности, поток вектора напряженности электростатического поля через поверхность Гаусса равен нулю (см. рис. 5.5), так как часть общего потока будет отрицательной, а часть положительной (из-за различной ориентации вектора нормали п), что даст в сумме нуль (в применении к потоку жидкости — сколько жидкости втекает в объем, ограниченный поверхностью 5, столько ее и вытекает). То есть все те заряды, которые лежат вне поверхности Гаусса, могут быть исключены из рассмотрения.

Величина Q может быть рассчитана, если известно пространственное распределение заряда. Если поле создается суммой N зарядов, то в силу принципа суперпозиции суммарный поток и общая формулировка теоремы Остроградского — Гаусса будет:

Если поле создано заряженным по объему V телом (см. подраздел 5.1.1), то получим

где р(К) = dq/dV— объемная плотность заряда.

Если поле создано заряженной поверхностью S, то

где ст(?) = dq/dS — поверхностная плотность заряда.

Если поле создано линейно распределенным по нити (линии) L зарядом, то

где т(/) = dg/dL — линейная плотность заряда.

Во всех случаях объем Vтела, поверхность S и длина L заряженной линии соответствуют тем частям заряженного тела, которые заключены внутри поверхности Гаусса.

При использовании теоремы Остроградского—Гаусса не следует забывать о свойствах среды, в которой находятся заряды, и включать в знаменатели правой части выражений (5.14) — (5.17) диэлектрическую проницаемость среды в случае, когда е > 1 (см. сноску на с. 347).

Теорема Остроградского—Гаусса выполняется для любых замкнутых поверхностей Гаусса и распределений зарядов. Однако наиболее эффективно ее применение к расчету полей, создаваемых заряженными телами, обладающими симметрией. В этом случае умелым подбором формы поверхности Гаусса можно достигнуть существенного упрощения задачи: сделать так, чтобы Е = Еп = const, вынести Е из под знака интеграла и интегрировать только поверхность (как это было сделано при выводе теоремы для точечного заряда), или вообще получить Е„ = 0 на части поверхности. Далее будут приведены примеры такого выбора при расчете полей, создаваемых заряженными телами различной формы, обладающими симметрией. Можно было бы решить эти задачи «в лоб», пользуясь законом Кулона, следствием которого и является рассматриваемая теорема, с определением напряженности системы элементов точечных зарядов и принципом суперпозиции электрических полей в его интегральной форме. Но этот путь трудоемок, он требует громоздкого интегрирования по объему, поверхности или кривой. Применение теоремы Остроградского — Гаусса позволяет решать такие задачи «в одну строчку».

Начнем с расчета напряженности поля, создаваемого одиночным зарядом Q. Для этого нужно просто обратить ход рассуждений, использованный при выводе теоремы Остроградского—Гаусса.

Итак, поле точечного заряда зависит только от расстояния от заряда до точки наблюдения и не зависит от направления, т.е. поле является сферически симметричным. Выберем в области вне заряда на расстоянии г от него произвольную точку А и мысленно проведем через эту точку поверхность Гаусса — сферу радиусом г с центром в заряде Q

(рис. 5.6). Запишем для этой поверхности и заряда внутри нее теорему Остроградского — Гаусса в форме:

где Q — величина заряда; Е„ — проекция вектора Е на нормаль к сфере (Е= Е„ в силу сферической симметрии задачи).

Напряженность Е(г) и потенциал

Рис. 5.6. Напряженность Е(г) и потенциал <р(г) электростатического поля точечного заряда Q

Кроме того, в силу сферической симметрии и равноудаленное™ от заряда на всей поверхности сферы Гаусса Е = = Е„ = const. С учетом всех этих обстоятельств левую часть (5.15) можно записать в виде: ф/ГДУ = = ?4лг2. По теореме

S S

Остроградского—Гаусса, которую представляет выражение (5.15), правая часть равна Q/zо. Поэтому в соответствии с используемой теоремой

или

что совпадает с выражением (5.2). Это совпадение вполне естественно, так как мы пользовались точечным зарядом при выводе теоремы (5.15). Рисунок 5.6 отображает распределение поля в плоскости чертежа только справа от заряда. Слева картина полностью симметрична и представляет собой зеркальное отражение относительно вертикальной оси ОЕ.

Теорема Остроградского—Гаусса оказывается справедливой для любых полей, напряженность которых падает обратно пропорционально квадрату расстояния г2. Действительно, только в этом случае г2 в выражении (5.12) сокращается. На это обстоятельство и обратил внимание Гаусс при анализе результатов, полученных Остроградским. Мы знаем два таких поля — электростатическое поле и поле сил тяготения[1], к ним обоим применима теорема, которую мы сейчас рассмотрели.

Применим теперь теорему Остроградского—Гаусса к расчету напряженности поля, созданного сферой радиусом R с зарядом Q, равномерно распределенным по ее поверхности. Если поверхность сферы заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда о = Q/S, то надо рассматривать две области (рис. 5.7): область внутри сферы (область I, где r включая поверхность, где r= R) и область вне сферы (область II, г > R, также включая поверхность). Точка А, в которой мы будем определять напряженность, может находиться на произвольном расстоянии г от центра сферы и выбрана сначала внутри А < R) и затем вне (rA > R) ее поверхности, включая саму поверхность (rA = R).

Напряженность Е и потенциал ф электростатического поля равномерно заряженной по поверхности сферы

Рис. 5.7. Напряженность Е и потенциал ф электростатического поля равномерно заряженной по поверхности сферы

Как и в предыдущем примере, любая прямая, проходящая через

точку О, является осью симметрии. Значит, опять Е = Е = Е„ = const на поверхности сферы Гаусса в двух рассматриваемых областях. При О < г < R интеграл ф?„с!5 = 0 — зарядов внутри малой сферы Гаусса нет

  • 5
  • (они на поверхности сферы, несущей заряд). Так, если допустить наличие поля внутри сферы, то в силу симметрии задачи должно выполняться условие Еп = Е, отсюда следует, что ?cj)d5 = Е4пг2 = 0, и при гф О

j

напряженность ? = 0. То есть поля в области I нет.

При г > R сферу Гаусса следует провести через точку А, лежащую вне заряженной сферы. Рассуждая аналогичным образом, запишем

Соответствующий график приведен на рис. 5.7 (с учетом того, что картина распределения полей так же, как в случае точечного заряда,

и симметрична относительно вертикальной оси, дана только правая часть графика). Как видно из рисунка, значение напряженности поля на внутренней и внешней сторонах поверхности различны, т.е. напряженность поля на заряженной поверхности (при r=R) терпит разрыв. На поверхности при г = R одновременно Е = 0 (условно внутренняя поверхность заряженной сферы) и Е = ст/ео = б/(4лг,о/?2) (условно внешняя поверхность сферы, несущей заряд).

Аналогично рассуждая, можно получить значения напряженности поля нескольких концентрических (с одним общим центром) сферических поверхностей (например, для сферического конденсатора), при этом всегда следует учитывать диэлектрическую проницаемость е среды в области, где определяется поле (при r> R напряженность Е(г) в любой точке графика в нашем примере будет лежать ниже, если е > 1).

Если шар заряжен равномерно по объему (р = Q/V= const) — рис. 5.8, то поле внутри не равно нулю. Как и раньше, задача имеет сферическую симметрию, поэтому в качестве гауссовой следует выбрать поверхность сферической формы. При таком выборе гауссовой поверхности Ifl = = Е„ = const. Соответственно произвольная точка А выбирается в двух областях: сначала внутри (r) шара, а затем вне (r> R) его.

Поле равномерно заряженного по объему шара

Рис. 5.8. Поле равномерно заряженного по объему шара

Для того, чтобы найти зависимость напряженности Е электростатического поля от расстояния г от центра заряженного шара, воспользуемся теоремой Остроградского—Гаусса в форме (5.16). Объемная плотность р заряда шара объемом V и радиусом R есть

Обратите внимание, что внутри шара Е~ к Найденная зависимость показана на рис. 5.8.

Вычислить зависимость Е(г) вне (г > R) шара проще: в этом случае для любого г весь шар охватывается сферической поверхностью Гаусса на рис. 5.8 не показана — см. рис. 5.7 для г > R область II. Тогда

= Е(г)4кг2 = (Q/co) и Е(г) = —т, т.е. здесь, каки в (5.21), Е{г) J 4 пс0г

по-прежнему убывает с расстоянием пропорционально 1 2 (рис. 5.8). Если материал шара имеет диэлектрическую проницаемость е > 1, то в зависимость Е(г) внутри (г < К) его поверхности явно включается множитель 1/е, и это означает, что поле Е(г) с расстоянием от центра до поверхности (г = К) будет расти медленнее, чем при с = 1, а при г = R

будет скачок напряженности от значения E(R) = ———т до

4лс0г.л

E(R) = ———т, т.е. в е раз (см. рис. 5.8). Если же диэлектриком запол- 4nc0R2

нено и пространство вне (г > R) шара, то и здесь, как и в (5.21), во всех точках пространства, окружающего заряженный шар, Е(г) также будет в е раз меньше,чем в случае, когда г, = 1 (т.е. в вакууме или воздухе).

Обобщим полученные результаты. Во всех рассмотренных случаях сферической симметрии зависимость Е{г) при г > R описывается законом Е~ 1 1. Это значит, что «наблюдатель», находясь в произвольной точке г и удаляясь от заряженного тела, по зависимости Е(г) в этой области пространства не может сказать, чем создается поле: точечным зарядом, полой сферой или заряженным шаром. Во всех трех случаях зависимость Е(г) одинакова! Более того, в случае сферической симметрии ничто не мешает «стянуть» сферу или шар в точку и рассматривать поле будто бы созданное точечным зарядом. Это иногда существенно облегчает задачу. Один раз мы это уже делали, рассматривая силу и потенциальную энергию гравитационного взаимодействия (гравитационное поле Земли), мы имели дело с формулами E(r) = —GMm/r2

и П{г) = —GMm/r, где г — расстояние от тела массой т до центра тяготения — Земли (масса М). Мы тоже «стягивали» всю массу Земли в точку — в ее центр (см. подраздел 1.3.5). Причина общности результатов кроется в одинаковой зависимости кулоновской и гравитационной силы от расстояния г.

Рассчитаем теперь поле, создающееся телом, обладающим цилиндрической симметрией, например, бесконечным равномерно заряженным по поверхности цилиндром с линейной плотностью заряда т = dQ/dl = = const[2] на поверхности цилиндром радиусом R (рис. 5.9). Таких цилиндров (равно как и других бесконечно протяженных объектов, например, плоскостей, см. далее) не бывает. Эта физическая задача равносильна реальному условию: цилиндр имеет конечную длину L, но мы будем вычислять поле для случая R« L (т.е. его радиус много меньше длины — длинный цилиндр) вблизи его поверхности (г ~ R). Тогда краевыми эффектами, искажающими поле конечной длины цилиндра, можно пренебречь и решать задачу в идеальном предположении.

Поле равномерно заряженного по поверхности цилиндра

Рис. 5.9. Поле равномерно заряженного по поверхности цилиндра

Проанализируем условия задачи. Во-первых, задача имеет цилиндрическую симметрию, т.е. ось симметрии совпадает с осью цилиндра. Это значит, что Е зависит только от расстояния г от оси цилиндра (расстояние г отсчитывается не от поверхности, а от оси) до точки наблюдения А с полярной с координатой г. Во-вторых, любая прямая, перпендикулярная оси цилиндра и пересекающая ее, является осью симметрии второго порядка (поворот цилиндра вокруг этой перпендикулярной оси на угол (2л/2) = л совмещает его с самим собой). Это значит, что в симметричном относительно оси цилиндра поле вектор Е должен быть ориентирован вдоль такой прямой.

Выберем поверхность Гаусса в виде соосного с заряженным телом цилиндра высотой (длиной) / и торцами, перпендикулярными оси цилиндра (см. рис. 5.9, пунктир). Тогда входящий в выражение для теоремы Остроградского — Гаусса интеграл по поверхности Гаусса разобьется на три (полная цилиндрическая поверхность Гаусса складывается из боковой поверхности 56oK и двух торцов-оснований 5„):

I

Поток через торцы 50СН цилиндра наружу в выражении (5.23) содержит множитель 2 (потоки через верхнее и нижнее основание равны) в силу его определения и соответствующей ориентации направлений векторов нормалей (см. рис. 5.9). Последнее слагаемое в (5.23) равно нулю, так как на торцах гауссовой поверхности Е„= 0(Е 1 п).

На боковой поверхности цилиндра Гаусса Е ТТ п, т.е. Е„ = Е=const. Следовательно:

При r 0 (по тем же соображениям, что и для поля внутри полой сферы). При r> R, Е 2nrl = Q/e0 = т//е0- Таким образом (с использованием т и связи т = 2nRS), получаем

(график Е{г) показан на рис. 5.9).

Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Рис. 5.10. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Вычислим теперь поле, создаваемое плоскостью с линейными размерами, много большими, чем расстояние г от нее до точки наблюдения (точки А и Л'нарис. 5.10), т.е. в идеальном пределе равномерно заряженной (а = = d(2/dS = const) «бесконечной» плоскостью. Любая прямая, перпендикулярная такой плоскости, является осью симметрии (поворот на любой угол вокруг нее совместит плоскость саму с собой). Поэтому Е в любой точке должна быть направлена вдоль этой оси, т.е. перпендикулярно плоскости.

В этом случае замкнутую поверхность Гаусса целесообразно выбрать в виде симметричного относительно заряженной плоскости цилиндра с образующими, перпендикулярными плоскости и равноудаленными от нее основаниями, как это показано на рис. 5.10. Такая поверхность, конечно, не будет включать все заряды, распределенные по бесконечной плоскости, но может содержать их сколь угодно много, что оправдывает подобное рассмотрение. При таком выборе гауссовой поверхности угол а между вектором напряженности Е и нормалью п равен нулю во всех точках обоих оснований (торцов) цилиндра (т.е. там Е ТТ п Е = Е„ = const) и а = л/2 во всех точках боковой поверхности (т.е. при Е1 п Е„ = 0).

Запишем левую часть теоремы Остроградского — Гаусса так:

Так же, как в случае с равномерно заряженным цилиндром, поток через торцы-основания 5„ цилиндра — поверхности Гаусса удваивается из-за их равноудаленное™ от плоскости и ? ТТ я (поток через боковую поверхность здесь равен нулю из-за условия Е1 п на ее поверхности). Заключенный внутри поверхности Гаусса заряд на вырезанной части плоскости есть Q = aS0снов. Поэтому справедливо равенство Е ? 25'основ О^осжш/со, т.е. Е а/2ео const (верхний график Е{г) на рис. 5.10). Видно, что напряженность поля бесконечной плоскости (для реальной конечной плоскости это напряженность вблизи ее поверхности) не зависит от расстояния г до нее! Отрицательное значение Е слева от плоскости означает, что электрическое поле, симметричное относительно плоскости, там направлено противоположно оси Ох.

Система двух подобных плоскостей, несущих разноименный заряд с равной плотностью, представляет собой источник однородного электростатического поля — плоский конденсатор (рис. 5.11).

Согласно принципу суперпозиции, поле

конденсатора представляет собой векторную

сумму полей, созданных каждой плоскостью „

„ Рис. 5.11. Поле

в отдельности. В результате поле внутри кон- плоского конденсатора

а за его пределами равно нулю (противонаправленные вне Е+ и Ё- вычитаются). Таким образом, конденсатор с пластинами значительной площади может рассматриваться как источник однородного электростатического поля.

денсатора (сонаправленные внутри конденсатора и равные друг другу векторы Е+ и Е- складываются)

В заключение этого подраздела сделаем еще два замечания о теореме Остроградского—Гаусса. Первое из них касается следствия электрофизической природы. Вследствие того, что в уравнении (5.15) справа стоит электрический заряд, теорема утверждает, что источником электростатического поля являются именно электрические заряды.

Другое замечание связано с тем, что, как упоминалось ранее, теорема Остроградского — Гаусса имеет гораздо более общее применение, чем только для рассмотренных случаев электростатики.

Представим себе, например, течение жидкости в трубе (рис. 5.12). Каждая частица жидкости перемещается со своей скоростью о. Масса dm жидкости, которая пересечет поверхность dS за время t составляет dm = = pdK= po/dS. Через поверхность S за время 1 пройдет масса жидкости т = Jitfpd5 = tp JudS, а если S (и d5) ориентированы произвольным образом

s s

по отношению к потоку, то m = tpjvdS. Эти формулы, с одной стороны, позволяют рассчитать массу жидкости при ее течении по трубам (при известном распределении скорости и турбулентном или ламинарном течении — определение см. подраздел 3.2.1), с другой — сформулировать критерий

несжимаемости жидкости у ndS = 0. Это означа-

s

ет, что в том случае, если внутри поверхности Гаусса нет источника жидкости, то ее количества, пересекающие поверхность слева и справа в любой промежуток времени равны (втекает столько, сколько вытекает), а потоки имеют разные знаки из-за противоположного направления векторов нормали к S слева и справа. Если источник жидкости в выбранном объеме имеется, то получаем рфис/.У = j, где j = dm/At —

мощность источника. s

0. Это означа-

Применение теоремы Остроградского — Гаусса к описанию течения жидкости

Рис. 5.12. Применение теоремы Остроградского — Гаусса к описанию течения жидкости

  • [1] В случае гравитационного поля роль создающего его заряда выполняет масса тела,а вектора напряженности — отношение силы тяготения к гравитационной «пробной» массе.
  • [2] Здесь мы ввели линейную плотность т заряда для заряженного объекта (цилиндра), обладающего поверхностью, имея в виду, что при с!
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы