Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Давление жидкости на стенки трубы. Уравнение Бернулли

Существует закон течения, связывающий между собой давление, скорость течения и высоту подъема идеальной жидкости в сообщающихся сосудах — это закон Бернулли. Этот закон, так же как рассмотренные закономерности предыдущего подраздела, является основной многих физико-химических и технологических процессов.

Зависимость давления жидкости от скорости течения определяется условием неразрывности. Если несжимаемая жидкость движется по трубке скоростей с переменным сечением (рис. 3.9), то для того, чтобы обеспечить неразрывность струи, ее скорость должна меняться. Если трубка горизонтальна, сила, вызывающая движение жидкости с переменной скоростью, задается самой жидкостью. Это значит, что давление должно быть разным в разных местах потока (трубопровода, например) — если оно везде одинаково, течения не будет. Когда горизонтальная труба сужается, жидкость в элементарном сечении ускоряется в направлении места с низким давлением, чтобы суммарное давление смогло ускорить поток. Сюда можно включить и изменение уровня трубы в потенциальном поле (например, относительно поверхности Земли), т.е. учесть и разность потенциальных энергий частей жидкости, обусловленную влиянием этого поля. Чтобы вывести закон течения, надо применить законы механики к течению жидкости. Рисунок 3.9 иллюстрирует движение некоторой массы жидкости между двумя положениями элементарных сечений d5) и d52 трубки тока жидкости, находящимися на разных уровнях (h и /г2 соответственно) во внешнем силовом поле (поле силы тяжести Земли, в нашем случае). Так как в исходном предположении мы имеем дело с идеальной жидкостью, то все силы, действующие на нее со стороны «стенок» трубки тока направлены нормально к ее поверхности, а значит, компенсируют друг друга и работы не совершают. Таким образом, вся работа, связанная с током жидкости, совершается силами, действующими в сечениях dSi и d?2 (силы d/;, d?2 и перемещения dл, dn соответственно1). В соответствии с законом сохранения энергии эта работа (элементарная, на элементарных перемещениях dг и dГ2 — см. рис. 3.9), совершаемая за время dt, определяется по формуле

т.е. соответствует изменению d? полной энергии трубки тока за это время.

К закону Бернулли

Рис. 3.9. К закону Бернулли

Подсчитаем изменение энергии d? в процессе течения, предполагая, что d? = d(?2 — Е), где dЕ2 и d? — энергии рассматриваемой части жидкости в области «2» (наклонная влево штриховка на рис. 3.9) и «1» (штриховка наклонена вправо) соответственно.

Так как течение жидкости стационарно, то в дважды заштрихованной области распределение скоростей и плотности, а значит, и полной энергии в потоке этой части жидкости не изменяется (на смену одним частицам жидкости приходят другие, идентичные ушедшим, с тем же значением кинетической и потенциальной энергии). Обозначим полную энергию дважды заштрихованной части жидкости Е0. Тогда d?, = = dE{) + d?) и d?2 = d?n + d?2. Здесь d?, и d?2 полные энергии частей жидкости в однократно заштрихованных областях на рис. 3.9. Тогда

1 Ориентации векторов d/J, dF2, dr,, dr2, d5,, d52 показаны на рис. 3.9.

причем в каждом из рассматриваемых сечений dE = d Т + dП =

= dm + dm ? gh — сумма кинетической и потенциальной энергии элементарной массы dm жидкости в потоке.

Поскольку направление тока жидкости совпадает с dr, то, принимая во внимание, что dm = pdV, имеем dfdr = pdSdr=pd V= pdm/p, где p — давление на слой со стороны потока; р — плотность жидкости.

Теперь, учитывая (3.22) и (3.23), а также принимая во внимание направления действующих в рассматриваемых сечениях сил (направление силы dTi совпадает с направлением тока жидкости, а силы d Fi — ему противоположно), для закона сохранения энергии в потоке получаем

В силу стационарности потока dm = dm2 = dm, поэтому соотношение (3.24), после сокращения на dm, может быть переписано в форме:

Или в обобщенном виде для давления в любом сечении идеальной жидкости

Это и есть уравнение, полученное русским физиком Д. Бернулли в 1738 г., которое называется уравнением Бернулли для идеальной жидкости[1] [2] (с постоянной В — константой Бернулли — она же интеграл Бернулли, полное давление или напор). Все слагаемые в уравнении (3.26) имеют размерность давления или энергии единицы объема, поэтому

р - это давление в выбранном сечении; Bj- - кинетическая энергия

единицы объема жидкости около этого сечения; pgh — потенциальная энергия единицы объема около этого сечения и и — скорость жидкости относительно стенок сосуда. Как следует из его вывода, уравнение Бернулли является следствием закона сохранения энергии для стационарного потока идеальной жидкости. Согласно уравнению Бернулли полное давление (также и полная энергия), представляющее собой сумму стати-

ческого (р), динамического

и гидростатического (pgh) давлений

(сумма потенциальной и кинетической энергии), в установившемся потоке жидкости в любом ее сечении остается постоянным (сохраняется).

Для горизонтальной (Л = const) трубы постоянного сечения уравнение Бернулли приобретает вид:

Для реальной (вязкой) жидкости силы внутреннего трения приводят к тому, что полная энергия в различных сечениях («1» и «2» на рис. 3.9, например) будет различной (не сохраняется). Если разницу этих энергий в рассматриваемых сечениях («потерянную энергию») обозначить АЕ, то с учетом ее преобразования в единицы, используемые в (3.25), уравнение Бернулли (3.26) для реальной жидкости будет иметь вид

где АЕ/т — потерянная энергия единицы массы жидкости.

Из уравнения (3.27) и уравнения неразрывности в частности следует, что при течении жидкости в горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, давление больше (а скорость меньше) в широких местах, — и меньше (скорость больше) в узких сечениях. Это нужно учитывать при проектировании трубопроводов большого давления, толщину стенок которых следует увеличивать в местах, где сечение увеличивается, а скорость течения падает, а не наоборот.

Для измерения статического давления в потоке используют отводные трубки с открытым основанием, обращенным к потоку, а для динамического — изогнутые под углом 90° трубки с торцом, открытым в направлении потока (рис. 3.10).

На использовании уравнения Бернулли также основан и метод измерения скорости потока (см. рис. 3.10). Так, применяя уравнение (3.27) и уравнение неразрывности (3.17) к горизонтальному (Л = const) потоку, для разности статических давлений в двух разных сечениях Si и S2 потока получим

Измерение статического и динамического давления и скорости потока

Рис. 3.10. Измерение статического и динамического давления и скорости потока

Разность Ар равна рgAH (где АН =2И — разность уровней жидкости относительно уровня неподвижной жидкости в двух отводных трубках), поэтому для скорости v 1 в сечении 5, получаем

  • [1] Существует и другая форма уравнения Бернулли, выражаемого в единицах длины и по-
  • [2] лучаемая из (3.26) делением на произведение pg, т.е. — + — + h = const. pg 2 g
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы