Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Энергия волн

Как это явствует из изложенного ранее, при движении волн не происходит макроскопического переноса массы, перемещение волны сопровождается только колебанием частиц среды около положения равновесия. Это, однако, не значит, что волна не переносит с собой энергию. Заставляя колебаться частицы среды, волна переносит с собой ту энергию, которая затрачивается на ее создание. Эту энергию нетрудно оценить. Для этого надо подсчитать суммарную кинетическую энергию всех участвующих в колебании частиц

Здесь АТ— суммарная энергия всех N частиц в объеме AV; т — масса частицы; р — плотность среды, где распространяются колебания. Исходя из выражения для скорости (2.7), оценим величину итлх:

Подставка итах в (2.146) дает энергию, заключенную в объеме Д К колеблющейся среды,

или

где — объемная плотность энергии.

Оценим теперь поток энергии Ф волны, т.е. энергию, переносимую волной в единицу времени через произвольную площадку 5, перпендикулярную направлению распространения волны.

В общем случае элементарным потокомвектора через элементарную поверхность называется скалярная величина, равная скалярному произведению этого вектора на векторный 65 элемент поверхности 65, т.е. б5 = б5«, ориентированный в направлении нормали (одно из двух возможных направлений нормали выбирается из соображений удобства решения конкретной задачи) к ней. Для представленного на рис. 2.22 случая с вектором и, ориентированным в направлении нормали п к 65 (б5± =|б5|), элементарный поток определяется по формуле

Элементарный поток йФ вектора и через поверхность dS при ориентации вектора и в направлении нормали к d5

Рис. 2.22. Элементарный поток йФ вектора и через поверхность dS при ориентации вектора и в направлении нормали к d5

По определению поток Ф энергии волны численно равен энергии АТ, переносимой волной в единицу времени через произвольную площадку 5, перпендикулярно направлению распространения волны, значит

Определенный таким образом скалярный поток энергии является величиной усредненной по площадке, он может быть разным от точки к точке и в разных направлениях. Для того чтобы охарактеризовать поток энергии локально в каждой точке, вводится физическая величина — плотность потока энергии j

равная потоку энергии, отнесенному к величине площадки, перпендикулярной направлению распространения волны. Плотность потока энергии может зависеть от направления. Поэтому его следует определить как вектор, численно равный бФ/dSориентированный по направлению волны. Тогда

v -

где — = п — единичный вектор в направлении распространения волны.

v

Найдем выражение, связывающее плотность потока энергии с фазовой скоростью. Для этого выделим площадку ASX, перпендикулярную вектору и, и вычислим энергию, переносимую через эту площадку за время At (см. рис. 2.22 с учетом того, что dS^ -» ASX).

За интервал времени At через площадку AS будет перенесена энергия АЕ, заключенная в объеме цилиндра высотой и At и с площадью основания AS . Эту энергию можно выразить как произведение объемной плотности энергии w (2.149) на объем AV. Переносимая энергия

АТ

составит АТ= wAS uAt. Тогда поток энергии станет АФ =-= wASxv,

Ач At

АФ

и скалярная плотность потока — j =-= wv. Учитывая векторный

ASX

характер величин j и о, получим

Вектор плотности потока энергии был введен в рассмотрение русским физиком Н.А. Умовым и называется вектором Умова[1].

Из выражения (2.152) поток энергии с!Ф может быть определен через плотность потока

Для того чтобы сообщить выражению (2.155) более общий характер, придадим элементарной площадке dS смысл векторной величины. При этом будем иметь в виду различную ориентацию площадки d5 по отношению к векторному полю (вектору j ) (в данном случае — волновому). На рисунке 2.23 показана площадка dSi как проекция площадки d5 на плоскость, перпендикулярную вектору j. Определим поток dO вектора j через площадку dS.

Скалярной величине d5 припишем векторный характер, умножив d5 на единичный вектор нормали п. Тогда

где а — угол между векторами п и j. При Рис. 2.23. Элементарный поток dO

а = 0 |d5| = dS (см. рис. 2.22). вектора j через поверхность dS

в случае произвольной ориентации Используя определение скаляр- j к п

ного произведения векторов, формулу (2.155) можно преобразовать к виду

То есть элементарный поток 6Ф вектора плотности потока энергии у через элементарную площадку d5, ориентированную в направлении нормали, есть скалярное произведение вектора j и вектора d5. Полный поток вектора через конечную поверхность S (может быть также и замкнутой поверхностью) есть

или

а также

Формулы (2.158) — (2.160) представляют общий случай расчета потока вектора через произвольную поверхность. Они могут быть использованы не только для расчета энергии, но и для расхода жидкости в трубах, потока напряженности электрического и магнитного поля в соответствующих системах и в других случаях.

Используя определение потока (2.150) и закон сохранения энергии для распространяющейся волны, в соответствии с которым энергия Т[М, находящаяся в произвольном объеме пространства, до которого эта волна распространилась, должна быть равна энергии Гея, уходящей из этого объема (с обратным знаком), т.е. A7]nt = —Д ТехХ, и можем записать

Вводя объемную плотность энергии w по определению (2.149), последнее соотношение можно преобразовать к виду

которое в дифференциальной форме примет вид

Используя известную в математике теорему Остроградского, в соответствии с которой — дивергенция1

для вектора плотности j потока волны (вектор Умова), получаем а из последнего равенства получаем

1 Напоминаем, что в векторной алгебре оператор дивиргенции, действующий на произвольный вектор А , сопоставляет ему скалярную функцию, определяемую по правилу:

Последнее соотношение представляет собой уравнение непрерывности1 (неразрывности) для плотности энергии в волновом процессе. Оно выражает закон сохранения энергии в локальной точке, до которой распространилась волна: энергия волны, входящая в элементарный объем пространства, равна энергии, выходящей из него.

  • [1] Этот вектор был впервые введен Н.А. Умовым в 1874 г. для описания плотности энергиибезотносительно к физической природе распространяющейся волны. В 1884 г. этот векторбыл соотнесен с плотностью электромагнитной энергии английским физиком Дж. Г. Пойн-тингом. Поэтому часто вектор j также называется вектором Пойнтинга или векторомУмова — Пойнтинга.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы