Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Затухающие колебания

До сих пор мы рассматривали гармонические колебания, возникающие, как это уже отмечалось, при наличии в системе единственной силы — силы упругости или квазиупругой силы. В окружающей нас природе, строго говоря, таких колебаний не существует. В реальных системах кроме упругих или квазиупругих сил всегда присутствуют и другие силы, отличающиеся по характеру действия от упругих — это силы, возникающие при взаимодействии тел системы с окружающей средой — диссипативные силы. Конечным результатом их действия является переход механической энергии движущегося тела в теплоту. Другими словами, происходит рассеяние или диссипация механической энергии. Процесс рассеяния энергии не является чисто механическим и для своего описания требует привлечения знаний из других разделов физики. В рамках механики мы можем описать этот процесс путем введения сил трения или сопротивления. В результате рассеяния энергии амплитуда колебаний убывает. В этом случае принято говорить, что колебания тела или системы тел затухают. Затухающие колебания уже не являются гармоническими, так как их амплитуда и частота со временем изменяются.

Колебания, которые вследствие рассеяния энергии в колеблющейся системе происходят с непрерывно уменьшающейся амплитудой, называются затухающими. Если колебательная система, выведенная из состояния равновесия, совершает колебания под действием только внутренних сил, без сопротивления и рассеяния (диссипации) энергии, то совершающиеся в ней колебания называются свободными (или собственными) незатухающими колебаниями. В реальных механических системах с диссипацией энергии свободные колебания всегда затухающие. Их частота со отличается от частоты ©о колебаний системы без затухания ©о тем больше, чем больше влияние сил сопротивления.

Рассмотрим затухающие колебания на примере пружинного маятника. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. При малых скоростях колебаний силу сопротивления можно принять пропорциональной величине скорости колебательных смещений

Зная выражения для квазиупругой силы Fynp = —(5с и силы сопротивления Fc = -г% с учетом совместного действия этих сил, можно записать динамическое уравнение движения тела, совершающего затухающие колебания

где v = 4 — скорость колебаний; г — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления. Знак минус в выражении (2.79) для силы сопротивления обусловлен тем, что она направлена в сторону, противоположную скорости движения колеблющегося тела.

В этом уравнении коэффициент (5 в соответствии с формулой (2.49) заменим на тсоо, после чего последнее уравнение разделим на т и получим

Будем искать решение уравнения (2.81) в виде функции времени вида1

Здесь пока еще неопределенная постоянная величина у. Начальная фаза в нашем рассмотрении будет для упрощения предполагаться равной нулю, т.е. мы можем «включить» секундомер тогда, когда колебательное смещение проходит через положение равновесия (нуль координаты).

Определить величину у можем путем подстановки в дифференциальное уравнение затухающих колебаний (2.81) предполагаемого решения (2.82), а также получаемых из него скорости

1 Запись ехр(х) эквивалентна е*. Мы будем пользоваться обеими формами.

и ускорения

Подстановка (2.83) и (2.84) совместно с (2.82) в (2.81) дает После сокращения на А0е'у1 и умножения на «—1» получим

Решив это квадратное уравнение относительно у, имеем

Подставив у в (2.82), найдем, как зависит смещение от времени при затухающих колебаниях. Введем обозначения

и

где символом со обозначена угловая частота затухающих колебаний и соо угловая частота свободных колебаний без затухания. Видно, что при 5 > 0 частота со затухающих колебаний всегда меньше частоты соо свободных колебаний.

Таким образом, у = /б ± усоо -б2 = /б ± со и, следовательно, смещение при затухающих колебаниях может быть выражено в виде

Выбор знака «+» или «—» в показателе второй экспоненты произволен и отвечает сдвигу колебаний по фазе на к1. Будем записывать затухающие колебания с учетом выбора знака «+», тогда выражение (2.90) будет

Это и есть искомая зависимость смещения от времени. Ее можно переписать и в тригонометрической форме (ограничиваясь действительной частью)

1 При общем рассмотрении колебаний полное значение фазы колебаний задается начальными условиями, т.е. величиной смещения 4(0 и скорости ;(() в начальный момент времени (f = 0) и включает слагаемое <р0 — начальную фазу.

Искомая зависимость амплитуды A(t) от времени может быть представлена в виде

где А0 — амплитуда в момент времени 1 = 0.

Постоянную 5, равную согласно (2.88) отношению коэффициента сопротивления г к удвоенной массе т колеблющегося тела, называют коэффициентом затухания колебаний. Выясним физический смысл этого коэффициента. Найдем то время т, за которое амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е (основание натуральных логарифмов е = 2,72) раз. Для этого положим

Следовательно, коэффициент затухания б — это величина, обратная времени т, по прошествии которого амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е раз. Величина т, имеющая размерность времени, называется постоянной времени затухающего колебательного процесса.

Кроме коэффициента б для характеристики процесса затухания колебаний часто используют так называемый логарифмический декремент затухания X, равный натуральному логарифму отношения двух амплитуд колебаний, отделенных друг от друга промежутком времени, равным периоду Т

Выражение под логарифмом, обозначенное символом d, называется просто декрементом колебаний (декрементом затухания).

Используя выражение амплитуды (2.93), получим:

Выясним физический смысл логарифмического декремента затухания. Пусть амплитуда колебаний уменьшается в е раз по прошествии N колебаний. Время т, за которое тело совершит N колебаний, можно выразить через период т = NT. Подставив это значение т в (2.97), получаем 6NT= 1. Поскольку 57’= 7., то NX = 1, или

Следовательно, логарифмический декремент затухания есть величина, обратная числу колебаний, за которые амплитуда затухающих колебаний уменьшится в е раз.

В ряде случаев зависимость амплитуды колебаний от времени A{t) удобно выразить через логарифмический декремент затухания X. Показатель степени 51 выражения (2.93) можно записать согласно (2.99) следующим образом:

Тогда выражение (2.93) принимает вид

где y величина, равная числу N колебаний, совершаемых системой за время т.

В таблице 2.1 проведены примерные значения (по порядку величины) логарифмических декрементов затухания некоторых колебательных систем.

Таблица 2.1

Значения декрементов затухания некоторых колебательных систем

Система

Логарифмический декремент затухания

Волны в газах (акустические волны)

~10-‘

Электрические колебательные системы

(2-5) хКН

Камертоны

~1(Н

пластина кварцевого резонатора

10-4—10-5

Проанализируем теперь влияние сил сопротивления на частоту колебаний. При смещении тела из положения равновесия и возвращении его в положение равновесия, на него все время будет действовать сила сопротивления, вызывая его торможение.

Это значит, что те же самые участки пути при затухающих колебаниях будут пройдены телом за больший интервал времени, чем при свободных колебаниях. Период затухающих колебаний Т, следовательно, будет больше периода собственных свободных колебаний. Из выражения (2.89) видно, что различие в частотах становится тем больше, чем больше коэффициент затухания б. При больших б (б > со0) затухающие колебания вырождаются в апериодический (не периодический) процесс, при котором в зависимости от начальных условий система возвращается в положение равновесия сразу без его прохождения, либо перед остановкой проходит положение равновесия однократно

(совершает только одно колебание)

Затухающие колебания

Рис. 2.16. Затухающие колебания:

а — 8 < щ; б — б > (Оо

— см. рис. 2.16.

На рисунке 2.16, а изображен график зависимости t[t) и A(t) (при б > (о0 и начальной фазе Ф = 0). Пунктирная линия (огибающая колебательного процесса) изображает изменение амплитуды A(t) колебаний с течением времени. Если трение в системе возрастает настолько, что коэффициент затухания колебаний становится соизмеримым с угловой частотой собственных колебаний ю0. то частота затухающих колебаний будет очень малой. Наконец, в случае, если б > соо, колебания вовсе невозможны (этому случаю соответствует мнимое значение частоты, определяемой из равенства (2.89). Система становится демпфирующей, а колебательный процесс — апериодическим (рис. 2.16, б).

2.7. Вынужденные колебания

Если на тело кроме возвращающей силы и силы трения (как это имеет место при затухающих колебаниях) действует еще и внешняя, периодически изменяющаяся сила (эту силу мы будем называть вынуждающей), то возникающие в результате действия этой силы колебания называются вынужденными.

Рассмотрим простейший случай вынужденных колебаний, когда вынуждающая сила меняется со временем по гармоническому закону

где Fq — амплитудное значение вынуждающей силы; со — ее угловая частота1.

Так как помимо вынуждающей силы на тело по-прежнему действуют упругая или квазиупругая сила (Fynp —(5с) и сила сопротивления (Fc = -г%), то динамическое уравнение движения, включающее все силы, запишется следующим образом:

Разделим это уравнение на массу т и получим

Введем обозначения, которые употреблялись ранее при рассмотре-

2 Р

нии собственных свободных и затухающих колебаний, со0 = — и

т

г F

8 = —. Кроме того, отношение — обозначим символом/0. Тогда 2т т

уравнение движения примет вид ? = -<Во%- 28^ + f0cos(ot. Для удобства решения вынуждающую силу представим в комплексной форме F— F0e‘o>', а само уравнение перепишем следующим образом:

Установившиеся вынужденные колебания (т.е. колебания после достаточно длительного времени действия внешней вынуждающей силы) будут происходить с частотой со, т.е. с частотой изменения вынуждающей силы. Поэтому решение этого уравнения можно искать в виде

где А(ip) = А — комплексная амплитуда, содержащая фазовый множитель &>.

1 Не путать частоту со вынуждающей силы в (2.103) с частотой и} = ^в>1 — 82 затухающих колебаний.

Подставим в уравнение (2.105) значения 4 = i^ooe'"' и = = —Асо2е'ы' и получим:

сократим это уравнение на общий множитель е""' и выразим комплексную амплитуду А как функцию частоты со вынуждающей силы:

В знаменателе этого выражения стоит комплексное число

л .. I л л А л А-

Z = (со0 - со ) + /28со, модуль которого равен jZj = у(со0 -со ) + 48 со . Оно может быть записано в экспоненциальной форме Z = I Z е'ф, где . 28ю

Ф = arctg—,-г-. При этом выражение для комплексной амплитуды

СОц -со принимает вид

Как видно из этого уравнения, амплитуда А зависит от угловой частоты со и фазового множителя е_<ф. Зависимость колебаний от сдвига фаз ф мы анализировать не будем. Сосредоточимся на зависимости действительной части амплитуды установившихся вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы И(со). Эта зависимость имеет вид

Рассмотрим сначала случай отсутствия сил сопротивления (8 = 0). Тогда выражение (2.110) упрощается. С учетом того, что амплитуда всегда положительна, получим

Исследуем это выражение. При со « со0 (или ® -> 0)- Тогда

f F

А ~ /о / = / /исоо ил*4 А = -чг =—. Амплитуда вынужденных коле-

©о Р

баний в этом случае оказывается практически равной статическому смещению ?, = А, вызываемому постоянной силой F0 в упругой системе, характеризуемой коэффициентом (3 упругой (или квазиупругой) силы.

Если увеличить частоту со, сохраняя условие (0 < со < соо), то амплитуда вынужденных колебаний, как это видно из выражения (2.111), растет и при со = соои 6 = 0 стремится к бесконечности. С дальнейшим ростом со (со > соо) амплитуда начнет убывать и при со >> соо практически не будет зависеть от упругих свойств системы, так как в этом случае можно пренебречь собственной частотой соо по сравнению с со. Тогда

При со —> со амплитуда таких вынужденных колебаний будет стремиться к нулю.

Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты со вынуждающей силы при разных коэффициентах затухания 8

Рис. 2.17. Зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты со вынуждающей силы при разных коэффициентах затухания 8;

0 — собственная частота свободных колебаний при 8 = 0

На рисунке 2.17 представлена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты при различных коэффициентах затухания б. При со = со0 амплитуда колебаний в отсутствие затухания (б = 0) стремится к бесконечности. Этот результат практически нереален, так как означал бы бесконечно большую энергию колебательного движения. В действительности, благодаря силам сопротивления, амплитуда вынужденных колебаний всегда остается конечной. Величина ее определяется формулой (2.110) (это выражение при 6 = 0 переходит в (2.111), рассмотренное нами ранее). Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний данной системы зависит от величины коэффициента затухания б и соотношения частот (собственной частоты соо системы и частоты вынуждающей силы со).

Рассмотрим, как будет изменяться амплитуда вынужденных колебаний по мере изменения частоты вынуждающей силы при наличии затухания. При равенстве нулю частоты вынуждающей силы (колебаний при этом не будет, но будет статическое смещение под действием силы Fo)

что совпадает со случаем отсутствия сопротивления. По мере возрастания частоты вынуждающей силы, амплитуда растет, так как знаменатель выражения (2.110) при этом уменьшается. При приближении со к собственной частоте со0 свободных колебаний системы амплитуда колебаний будет сильно возрастать. Затем с ростом со (со > со<>) амплитуда начнет убывать. Таким образом, при со * соо амплитуда затухающих колебаний будет иметь характерный максимум, определяющий важное механическое явление.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется резонансом

Для нахождения значения резонансной частоты следует воспользоваться известным условием экстремума (максимума) функции Я(со)

Так как числитель в (2.110) — величина постоянная, то проще искать условие экстремума (минимума) знаменателя или, еще проще, подкоренного выражения в знаменателе. При этом получается

откуда найдем резонансную частоту

Тогда амплитуда вынужденных колебаний при резонансе

При малом затухании, когда 5 « ш0,

Из рассмотрения графика на рис. 2.17 можно сделать следующий вывод: чем меньше силы сопротивления (т.е. чем меньше б), тем острее резонансный пик и тем ближе резонансная частота С0р<.3 к частоте со0

1 В данной главе, посвященной механике колебаний, речь идет о механическом резонансе. В дальнейшем (см. главы 9—11) мы познакомимся с другими резонансными явлениями, их свойствами и применениями.

собственных колебаний. Наоборот, при значительном сопротивлении резонансный пик сглаживается и смещается в область низких частот.

Сравним отношение максимального смещения при резонансе, определяемое при малом затухании (6 « го0) формулой (2.118), к статическому смещению при со -» 0 — формулой (2.112)

Очевидно, что при 5 « соо полученное отношение может быть очень большим. Это и объясняет то огромное значение, которое имеет явление резонанса в физике и технике. Им широко пользуются, когда сравнительно слабым внешним воздействием хотят добиться ощутимого результата (например, настройки на волну станции при приеме радио- или телевизионного сигнала). И, наоборот, всячески избегают резонанса, когда это может привести к нежелательному росту амплитуды колебаний (например, разрушению строительных конструкций при внешнем периодическом воздействии).

Явление резонанса широко используется в арсенале физических методов исследования (см. главы 9, 11). При этом большую важность приобретает такое свойство резонансной системы, как ее добротность, которое характеризует «остроту» резонансной линии.

Добротность характеризует скорость потери энергии колебательной системой (осциллятором). По определению она равна относительной потере энергии колебательной системой за период колебаний или отношению энергии Е, запасенной в системе, к ее потере АЕ за период, т.е.

I

Так как добротность определяет остроту резонанса, то она также (в электротехнике и спектроскопии, например) определяется отношением резонансной частоты го0 к ширине резонансной кривой До

Шириной Дю резонансной (или спектральнойв теории и практике спектроскопии) кривой называется ее ширина на половине ее высоты, отсчитанной в максимуме, т.е. при го = го0. В электротехнике за уровень отсчета Дго принимается уровень 1/V2 от высоты при резонансе, что связано с квадратичной зависимостью энергии колебаний от их амплитуды ~ Л2).

При этом определении добротности G, после деления числителя и знаменателя выражения (2.110) на too, получаем

и для зависимости резонансной амплитуды от частоты ю и добротности G имеем

Величина Сдля электрического контура1, например, тем выше, чем меньше рассеяние энергии на его активном сопротивлении, и при этом выше частотная избирательность (острее настройка на резонанс при использовании в радиопередающих и принимающих устройствах).

Свойства спектрального прибора и любой частотно-избирательной системы тем лучше, чем уже его спектральная (резонансная) линия. В табл. 2.2 приведены оценочные значения добротности ряда колебательных систем.

Значения (по порядку величины) добротности систем

Таблица 2.2

Система

Десятичный логарифм (порядок) частоты v собственных колебаний, (v в герцах)

Десятичный логарифм (порядок) добротности G

Механическая система для генерации звуковых колебаний (камертон)

3

3

Колебательный ААС’-контур

4

2

Кварцевый резонатор

5

4

1 Контуром (параллельным колебательным /ШГ-контуром) в электротехнике называется параллельное соединение резистора (активного сопротивления R), конденсатора (емкостью О и катушки индуктивности (индуктивностью L), в котором происходит колебание электрического заряда, подобное колебанию смещения в механической системе.

Для него добротность G = Л. .'—.

Окончание

Система

Десятичный логарифм (порядок) частоты v собственных колебаний, (v в герцах)

Десятичный логарифм (порядок) добротности G

Оптическая спектральная линия

14-15

5-7

Излучение СОг лазера

13

9

Гамма-излучение и поглощение атомных ядер в эффекте Мёссбауэра, см.

19

9-15

подраздел 9.7.6

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы