Динамика гармонического колебательного движения

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Полученное ранее выражение (2.9) показывает, что между смешением и ускорением точки, совершающей гармоническое колебательное движение, существует простое соотношение

или

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонического колебательного движения. Если уравнение движения материальной точки (тела) или какой-либо произвольной физической величины, приводит к уравнению вида (2.45), то это является свидетельством того, что рассматриваемый процесс ее изменения во времени является гармоническим колебанием. Общим решением уравнения (2.45) являются сумма:

В справедливости этого утверждения можно убедиться, подставляя каждое из этих решений в уравнение (2.45).

Пружинный маятник

Под пружинным маятником понимают обычно систему, состоящую из груза массой т, который, двигаясь без трения, может совершать колебательное движение под действием упругой силы (например, пружины с коэффициентом жесткости р и груза — тела массой т, эта система рассматривалась нами ранее в подразделах 1.3.1 и 1.4.4).

Будем считать, что пружина одним концом прикреплена к грузу, а другим — закреплена рис. 2.11. Пружинный в неподвижном упоре (рис. 2.11), массой пружи- маятник ны можно пренебречь по сравнению с массой тела. За нулевое (начало координат оси Q примем положение правого ее конца (или груза), соответствующее недеформированной пружине. Применим второй закон динамики к движению груза, смещенного из положения равновесия на величину ?, и находящегося под действием упругой силы:

где — величина смещения.

В данном случае сила упругости F— —(5с является единственной силой, действующей на тело в направлении оси ?, (так как проекция его силы тяжести на ось б, равна нулю, и трение отсутствует). Знак минус обусловлен тем, что сила, действующая на тело со стороны пружины, всегда направлена в сторону, противоположную его смещению из положения равновесия. Перенося оба члена уравнения (2.47) в левую часть равенства и разделив его на т, получим

Сопоставим полученное выражение с общим видом дифференциального уравнения гармонических колебаний (2.45). Так как оба уравнения при со2 = (5 имеют одинаковый вид (их решение — гармоническая функция времени), то значит, тело совершает гармоническое колебательное движение. Из этого следует другое определение гармонических колебаний: гармоническими называются колебания, происходящие под действием упругой силы и подчиняющиеся уравнению вида (2.45). Сравнивая коэффициенты при одинаковых членах уравне

Р

нии, получим: <а

Рис. 2.12.

Математический

маятник

Отсюда выражение для угло

т

вой частоты колебаний груза представляется в виде:

Точно такое же выражение может быть получено для угловой частоты свободных колебаний тела, возникающих при наличии любой квазиупругой силы, т.е. силы, не относящейся к разряду сил упругости, но величина которой пропорциональна смещению тела от положения равновесия и противоположна ему по направлению также, как и для упругой силы.

Согласно выражениям (2.6) с (2.49) период Тгармонических колебаний тела, совершаемых под действием упругих и квазиупругих сил, определяется формулой

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >