Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Сложение двух колебаний одного направления с мало отличающимися частотами. Биения

Будем считать, что складываются два гармонических колебания одного направления, угловые частоты которых удовлетворяют условиям к>1 < о>2, До> << со, а их амплитуды одинаковы, т.е. А= А2 = А. Эта задача может быть легко решена аналитически. Качественное рассмотрение результата такого сложения также можно провести с помощью векторной диаграммы. Обратимся к рис. 2.7. В данном случае векторы А, и А2 вращаются с различающимися угловыми скоростями. Это значит, что в какой-то момент оба вектора находятся в противофазе, и амплитуда результирующего колебания равна нулю. После этого вектор А2 нагоняет А, и через какое-то время догонит его, фазы обоих векторов совпадут. Амплитуда результирующего колебания станет равной 2А. После чего вектор Л2 обгонит вектор Д, и амплитуда суммарного колебания будет уменьшаться, пока вектор Ах не отстанет от А2 на л, тогда снова колебание

Биения

Рис. 2.8. Биения

на мгновение пропадет и все повторится сначала. Нетрудно сообразить, что в сумме получится колебание, представленное на рис. 2.8. Такой тип колебаний называется биениями. Его легко наблюдать, когда два источника колебаний (например, мотора) работают на близких частотах, и мы имеем возможность слышать колебания низкой частоты До на фоне высокочастотного рева моторов.

Теперь проведем аналитическое рассмотрение результата сложения. Снова представим два колебания в виде t,{t) = А cos(o)|f + и &(/) = = A2cos(co2t + фг), с равными амплитудами А = А2 = А, но с различающимися частотами coi и 0)2 = + Дсо. Для простоты рассмотрения

положим (pi = фг = 0. Тогда результирующее колебание будет:

Знак приближенного равенства в результате введен из-за неучета малости Доз/2 в последнем сомножителе. Таким образом, оказывается, что мы имеем новое «низкочастотное» (Q, = Дсо/2) колебание с меняющейся во времени амплитудой

Фурье-синтез. Вверху приведена периодическая функция, представляемая набором гармонических составляющих. Внизу — результат суммирования компонентов разложения

Рис. 2.9. Фурье-синтез. Вверху приведена периодическая функция, представляемая набором гармонических составляющих. Внизу — результат суммирования компонентов разложения

(в общем случае неравных амплитуд фА2складываемых колебаний A(t) меняется от максимального Л!Ш1Х = А + А2 до минимального Amin = = At — А2 значения), «заполненное» высокочастотным (с частотой ?22 = ®) колебанием. В радиотехнике говорят, что высокочастотное колебание модулировано низкочастотным Q2 (см. рис. 2.8).

В общем случае произвольная (не гармоническая) периодической функции f(t) с периодом Т может быть представлена в виде ряда (спектра) Фурье. Этот ряд в комплексной форме представляет периодическую функцию f(f) в виде бесконечной суммы гармонических колебаний (гармоник):

Коэффициенты разложения С„ (комплексные амплитуды) могут быть определены как

Так, на рис. 2.9 вверху приведена функция/(/), описывающая периодическое колебание, не являющееся гармоническим. Эта функция представлена конечной совокупностью N гармонических функций, отмеченных фигурной скобкой. Сумма этих функций (реконструкция /(/)) представлена внизу: так как использовано только конечное число N гармоник, результат соответствует первоначальной функции лишь приближенно; увеличение числа гармоник привело бы к более полному согласию.

На разложении экспериментально измеренной кривой на фурье- компоненты (2.29) основан фурье-анализ спектральных линий, широко используемый в современной спектроскопии. Его распространению способствует развитие компьютерной техники с разработанными эффективными алгоритмами быстрого преобразования Фурье (БПФ), входящими в состав большинства современных программ математической обработки экспериментальных данных.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы