Кинематика гармонических колебаний

Из всего многообразия периодических колебаний выделим сначала так называемые гармонические колебания. Интерес к гармоническим колебаниям продиктован следующими причинами: во-первых, гармонические колебания просто описываются математически, и, во-вторых, любое периодическое колебание может быть представлено в виде суммы нескольких гармонических колебаний. Последнее обстоятельство является очень важным, и мы вернемся к нему в подразделе 2.3.2 при анализе негармонических колебаний.

Колебания называются гармоническими, если изменение со временем значения колеблющейся физической величины происходит по закону синуса или косинуса

где i(t) — смещение колеблющейся величины из положения равновесия при колебаниях; со — угловая (она же циклическая, круговая, радиальная) частота колебаний; A, cpj и ерг — константы.

Идеальные гармонические колебания являются абстракцией, так как они совершаются бесконечно долго (0 < t < + ос) по указанному закону без каких бы то ни было изменений, чего в реальном мире не бывает. Термином «смещение» (?(*)) мы будем называть значение в данный момент времени t любой физической величины (координаты точки, давления, заряда, напряженности электрического или магнитного поля и т.д.), изменяющейся по гармоническому закону. В частности, при рассмотрении простейших механических колебаний под смещением мы будем понимать отклонение (угловое или линейное) колеблющейся точки от положения равновесия. Амплитудой А колебаний называется максимальное значение смещения. Она является всегда положительной величиной, хотя отклонения от положения равновесия при колебаниях происходят в разные стороны от расположенного в положении равновесия начала координат. Выражение в скобках (шГ + ф) есть фаза колебаний, ф! и ф2 в формулах (2.3) и (2.4) — начальная фаза колебания (т.е. фаза колебания в момент времени t = 0).

Выбор синуса или косинуса для описания гармонического колебательного движения, равно как и значения ф, в значительной мере произволен и определяется соображениями удобства при решении конкретной задачи. По причинам, которые будут ясны из дальнейшего, в ряде случаев отдается предпочтение записи через косинус. Переход от одной формы записи к другой (от (2.3) к (2.4)) осуществляется соответствующим выбором начальной фазы и известным тригонометрическим преобразованием. Так, например, если гармоническое колебательное движение описывается выражением t(t) = A sin((»/ + фО, то его можно представить в виде ?,(/) = A cos(co/ + cpi — л/2) A cos(co/ + ср2), где (р2 = Ф1 - л/2.

Установим связь угловой частоты со с частотой v и периодом Т. Синус или косинус являются функциями периодическими с периодом 2л. Это значит, что через промежуток времени, равный периоду Т, система возвращается в исходное состояние, а фаза колебания изменятся на 2л, т.е.

Таким образом, угловая частота со связана с периодом Ти частотой v соотношениями

или

Проследим за изменением скорости и ускорения при гармоническом колебании: если смещение точки, совершающей гармонические колебания, определяется равенством (2.4), то ее скорость v(t) и ускорение a(t) этой точки выразятся, соответственно, первой и второй производными от смещения по времени:

Из сопоставления последнего выражения с (2.4) видим, что

)

т.е. ускорение гармонически колеблющейся точки всегда пропорционально смещению и противоположно ему по направлению. Ускорение (как и возвращающая сила) при гармоническом колебании всегда направлено к началу координат (положению равновесия).

На рисунке 2.2 представлено графическое изображение зависимости смещения (рис. 2.2, а), скорости (рис. 2.2, б) и ускорения (рис. 2.2, в) от фазы со/. Из сопоставления (2.4), (2.7), (2.9) и графиков видно, что при гармоническом колебании фаза колебания скорости отличается (опережает на л/2) от фазы смещения, а фаза колебаний ускорения сдвинута (еще более опережает) по сравнению с фазой смещения на п и находится «в противофазе» со смещением. Другими словами, в те моменты времени, когда смещение по модулю максимально (?, = А), скорость колеблющейся точки становится равной нулю, а ускорение также достигнет своего максимального (также по модулю) значения (tfmax 2А), но с противоположным смещению знаком (см. рис. 2.2). При прохождении точки через положение равновесия скорость с обратным знаком максимальна (итах = со А), а ускорение в этот момент так же, как и смещение, будет равно нулю.

Кинематика гармонических колебаний. На графиках сверху вниз в одном масштабе

Рис. 2.2. Кинематика гармонических колебаний. На графиках сверху вниз в одном масштабе: временные зависимости смещения ?(/), скорости v(t) = 4 и ускорения a(t) = ? при колебаниях. Начальная фаза ф не равна нулю,

= ?,(0), с>о — 4 (0), «о = 1(0)

Все сказанное относится не только к гармоническим колебаниям: в любых времязависимых процессах производные по времени от физических величин опережают сами величины по времени.

Для наглядного представления гармонических колебаний, а также для некоторых операций (например, сложения двух или нескольких гармонических колебаний одного направления) вводится векторная диаграмма. Векторная диаграмма — это представление гармонических колебаний с помощью вращающегося радиус-вектора (или вектора амплитуды).

Рассмотрим на рис. 2.3 отрезок ОВ (назовем его радиус-вектором А), равномерно вращающийся в плоскости чертежа около точки О с угловой скоростью со в направлении против хода часовой стрелки. Рисунок представляет собой «мгновенную фотографию» вращающегося вектора А в момент времени, принятый за начало отсчета (т.е. при / = 0). Угол, который в этот момент образует А с осью 0%, обозначим ф. В произвольный момент времени / > 0 угол ф изменится и станет равным со/ + ф. Соответственно этому будет изменяться и проекция вектора А на ось ОЪ„ т.е. %(/) = ;4cos(co/ + ф). Таким образом, проекция радиус-вектора на координатную ось будет изменяться по гар

Векторная диаграмма гармонических колебаний

Рис. 2.3. Векторная диаграмма гармонических колебаний

моническому закону. Следовательно, проекция конца вектора А (точка В) на ось Ос будет совершать гармоническое колебание вдоль оси Ох с амплитудой, равной длине вектора А, угловой частотой со, равной угловой скорости со его вращения, и начальной фазой ф, равной углу,

который образует при / = 0 радиус-вектор А с осью Ос. Угловая частота со, таким образом, получает простую интерпретацию: угловая частота есть угловая скорость вращения радиус-вектора векторной диаграммы, представляющей данное гармоническое колебание.

Угол у, который образует в произвольный момент времени / радиус- вектор с осью абсцисс, есть у = со/ + ф. Угловая частота входит в это выражение как постоянный коэффициент перед членом, содержащим время. Угловую частоту можно определить как скорость изменения

фазы, выраженной в радианах, т.е. со = —.

d /

При описании колебательного движения фаза является величиной более удобной, чем смещение (хотя они и связаны друг с другом). Преимущества фазы заключается в том, что она (при известной амплитуде и частоте) однозначно определяет смещение, скорость и ускорение точки, совершающей гармоническое колебание. Наоборот, смещению в произвольный момент времени / соответствуют два значения фазы: yj и у2, т.е., смещение неоднозначно определяет колебание. Для иллюстрации сказанного рассмотрим положения 1 и 2 вращающегося вектора А, представляющего колебание

Неоднозначность описания колебаний с помощью смещения; одному и тому же смещению Е, соответствуют две фазы у, и ус разным направлением СКОРОСТИ О] и о

Рис. 2.4. Неоднозначность описания колебаний с помощью смещения; одному и тому же смещению Е, соответствуют две фазы у, и у2 с разным направлением СКОРОСТИ О] и о2

колеблющейся точки

(рис. 2.4). В некоторый момент времени, соответствующий положениям 1 и 2, проекции вектора А на ось Ос, совпадают. В последующие моменты времени точки-проекции совпадающие в рассматриваемый момент, «разбегаются» в разные стороны со скоростями vx и и2, т.е. значениям проекции % соответствуют две разные скорости.

Далее при сравнении двух гармонических колебаний одинаковой частоты, но с различными и неизвестными амплитудами, значение смещений мало о чем говорит, в то время как знание фаз колебаний позволяет сразу же сделать важное для ряда задач заключение. Например, если фазы совпадают, то максимального смещения оба гармонических колебания достигают одновременно (колебания синфазны), и наоборот. Поскольку при изменении фазы на 2ли (и = 0, 1,2, ...) состояние гармонически колеблющейся системы не изменяется, то принято называть фазы колебаний совпадающими. Если фазы колебаний отличаются на л, Зл, 5л и т.д. (в общем случае на (2п + 1)л, то о таких колебаниях принято говорить, что они имеют противоположные фазы или — происходят в противофазе.

Заключая, можно сказать, что фаза при известной амплитуде и частоте несет наиболее полную информацию о состоянии гармонического колебательного движения (причем в форме наиболее удобной для анализа колебаний).

Смещение скорость 4 и ускорение  на векторной

Рис. 2.5. Смещение скорость 4 и ускорение на векторной

Соответствие между равномерным вращением радиус-вектора и гармоническим колебанием часто используется при изучении колебаний: вместо гармонического колебательного процесса рассматривают вращение соответствующего ему «вектора амплитуды», т.е. вектора, длина которого выражает в выбранном масштабе амплитуду данного колебания, и который откладывается на графике в начальный момент времени под углом, равным начальной фазе колебания. Проекция конца такого вращающегося вектора на ось Ос, совершает точно такие же колебания, как и смещение в исследуемом колебательном процессе.

На рисунке 2.5 приведена векторная диаграмма колебаний скорости и ускорения. Скорость ОБ = 4, как говорилось, опережает смещение ОА = на угол л/2, а ускорение ОС = — на л (т.е. находится в противофазе со смещением).

Установленная связь между гармоническими колебаниями и соответствующим вращательным движением радиус-вектора дает возможность использовать представление в комплексных числах. В ряде случаев это позволяет избежать громоздких тригонометрических преобразований и существенно упрощает математические выкладки.

Будем рассматривать плоскость Юг, в которой вращается радиус-вектор А, как область комплексных чисел. По оси OL будем откладывать действительную (Re) часть комплексного числа, а по оси Ох — мнимую (1т)г. Тогда

любое комплексное число

Графическое представление комплексного числа Z- ^ + /'п

Рис. 2.6. Графическое представление комплексного числа Z- ^ + /'п

где I = 7—I — мнимая единица, на этой плоскости будет изображаться точкой (например, точкой В на рис. 2.6). Длина радиус-вектора А, проведенного от начала координат к точке В, есть модуль этого комплексного числа

Абсцисса ?, и ордината г| комплексного числа ?, + /г| могут быть выражены через модуль А и аргумент у (фазовый угол) формулами:

Поэтому всякое комплексное число может быть представлено также в тригонометрическом виде

При равномерном вращении радиус-вектора аргументом является величина у = mot + <р. Тогда действительная (Re(Z) = L) часть комплексного числа Z будет изменяться по гармоническому закону

где модуль комплексного числа Z равен амплитуде гармонических колебаний.

В представлении колебаний важную роль играет формула Эйлера ехр(/у) = = cosy + /'sinу. Действительная часть комплексного числа

записанная в экспоненциальной форме, изменяется со временем по гармоническому закону

а мнимая — по закону

Таким образом, смещение '% при гармонических колебаниях можно представить в виде

Впредь комплексное число Zmu будем обозначать той же буквой, что и смещение подразумевая всякий раз, что гармоническое колебание описывается действительной частью этого комплексного числа. С учетом сделанного замечания, зависимость смещения при гармонических колебаниях от времени запишем следующим образом:

Это выражение можно переписать иначе

Произведение Лехр(/<р) определяет величину и направление радиус-вектора А в начальный момент времени и называется комплексной амплитудой (обозначим ее а)

Теперь гармоническое колебание записывается еще проще

Коэффициент е-'4’ иногда называют оператором поворота. Действительно, умножение на этот коэффициент эквивалентно повороту вектора А на угол <р против хода часовой стрелки.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >