Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Столкновения частиц

В этом подразделе мы применим законы сохранения механической энергии и импульса к процессам столкновения частиц. Те выводы, которые мы получим, очень важны для разных подразделов нашего курса, особенно для главы 4 «Молекулярная физика».

Под столкновением понимают любое кратковременное взаимодействие тел. В отличие от столкновения макроскопических тел, где предполагается непосредственное касание тел и их деформация в процессе удара, взаимодействие атомных частиц осуществляется не при непосредственном контакте, а посредством полевого взаимодействия[1]. В этом смысле можно говорить о столкновении электрически заряженных частиц, которые взаимодействуют через свои электрические поля, можно говорить о столкновении нейтронов — в этом случае взаимодействие осуществляется посредством поля ядерных сил и т.д.

В рамках классической механики можно было бы детально рассмотреть процесс столкновения частиц (например, однородных шаров) и из анализа сил взаимодействия (их изменения в этом процессе), сделать заключение о результатах столкновения, т.е. указать направления и величины скоростей частиц после столкновения. Однако такое детальное рассмотрение для классических объектов весьма затруднительно, а для квантовых объектов и принципиально невозможно. Так, например, нельзя описать детально процесс столкновения нейтронов хотя бы потому, что неизвестен точно закон изменения ядерных сил с расстоянием. Вообще ничего нельзя сказать о механизме столкновения нейтрона с фононом (см. главы 4 и 10), у-кванта с электроном и т.д. Абсолютно точное описание процесса столкновения микрочастиц вообще невозможно из-за квантово-механического соотношения неопределенностей (см. подраздел 8.2).

Оказывается, что во многих практических случаях такое детальное рассмотрение взаимодействия и не нужно. Для определения скоростей частиц после столкновения достаточно применения механических законов сохранения. Поскольку при этом детали процесса столкновения не рассматриваются, то полученные результаты справедливы как для частиц, которые взаимодействуют через посредство полей, так и для непосредственно контактирующих макроскопических тел.

Различают столкновения (взаимодействия) двух видов: упругие и неупругие.

Упругое соударение частиц. Соударение тел называется абсолютно упругим, если их суммарная кинетическая энергия до и после столкновения не изменяется. При абсолютно упругом столкновении происходит лишь перераспределение кинетической энергии, а внутреннее состояние частиц (до и после столкновения) остается неизменным.

Рассмотрим в общем виде столкновение двух невзаимодействующих вне контакта частиц (т.е. будем считать, что их взаимная потенциальная энергия равна нулю). Удар называется прямым {илилобовым), если векторы скоростей взаимодействующих частиц (и их центров масс) лежат на одной прямой. Если это условие не выполняется, то удар называется косым.

Исследуем прямое столкновение двух частиц (с массами тт2 соответственно), двигающихся поступательно (без вращения)(рис. 1.36) вдоль оси х. Их скорости и и V2 (и импульсы р и р2) до удара направлены вдоль этой оси (причем v> v2 иначе столкновения не будет), и поэтому векторную запись закона сохранения импульса в проекции на ось х (символ х у проекций для упрощения записи опускается) можно заменить скалярной. Скорости частиц после столкновения обозначим символом и («1 и и2 соответственно).

Схемы соударения частиц

Рис. 1.36. Схемы соударения частиц

Если пренебречь действием посторонних тел (сила тяжести перпендикулярна направлению движения, поэтому на взаимодействие вдоль оси х влияния не оказывает) и при этом считать систему двух частиц замкнутой (консервативной), то можно применить к соударению оба закона сохранения: закон сохранения механической энергии

Выражения (1.152) и (1.153), рассмотренные совместно, представляют собой нелинейную (в формуле (1.152) неизвестные скорости и и и2 входят квадратично) систему двух уравнений с двумя неизвестными ии U2- Для решения этой системы ее надо сделать линейной — линеаризовать. Преобразуем уравнения (1.152) и (1.153) к виду:

Таким образом, из соотношений (1.156) и (1.157) получается система двух линейных уравнений. Для того чтобы найти скорость второй частицы после столкновения, сложим левые и правые части этих равенств в одно уравнение

Аналогично определяется скорость первой частицы после столкновения (в силу симметрии рассмотрения взаимодействия частиц можно просто заменить у всех величин, входящих в уравнение (1.159), индекс 2 на 1)

Еще раз отметим, что щ и v2 — скорости каждой из частиц, a vc — скорость их центра масс в лабораторной (т.е. неподвижной, связанной с Землей) системе координат. Зная тх, т2, i>i, v2, т.е. исходные данные, определить ис не составляет труда. Вспомним, что для двух рассматриваемых соударяющихся тел, представляющих собой замкнутую систему, скорость центра масс при их соударении не изменяется (см. формулу (1.74)).

Если перейти к движущейся со скоростью ис системе координат, связанной с центром масс (т.е. принять ис = 0), то выражения (1.163) и (1.164) предельно упростятся:

То есть в этой системе отсчета при любых тх, т2, Vi и 2 частицы после соударения меняют направление движения, но так, что их скорости по абсолютной величине не изменяются.

Определенный интерес представляют некоторые частные случаи.

1. Одна из частиц в лабораторной системе покоиться. Например, пусть это будет вторая частица 2 = 0) .Тогда

и

Из формулы (1.168) видно, что покоившаяся (вторая) частица приобретает после столкновения скорость и2, направление которой всегда совпадает с направлением движения до столкновения первой (налетающей) частицы. Вместе с тем направление движения первой частицы после столкновения зависит от соотношения масс частиц. Если Ш < т2, то первая частица, как это видно из формулы (1.167), изменит направление движения на противоположное. Если т > т2, то направление движения останется прежним.

Если при этом масса обеих частиц одинакова (т2 = 1), то

т.е., в случае центрального упругого столкновения частиц одинаковой массы происходит обмен скоростями, а следовательно, и кинетическими энергиями. При столкновении, когда и2 = 0 происходит следующее: движущаяся частица останавливается (после столкновения u — vi = 0), а покоившаяся частица начинает движение со скоростью u2 = v, т.е. со скоростью, которой обладала до столкновения движущаяся частица. В этом случае движущаяся частица полностью передает первоначально покоившейся всю свою кинетическую энергию.

2. Рассмотрим столкновение частиц, сильно различающихся по массе (т « т2). Пусть для определенности частица с меньшей массой (гп) движется со скоростью а частица с большей массой покоится 2 = 0)- Тогда из формулы (1.167), пренебрегая отношением масс т/т2 по сравнению с единицей, получим

и

Таким образом, частица с меньшей массой после соударения изменяет свою скорость на противоположную без потери кинетической энергии, а вторая остается практически неподвижной.

Удар частицы о неподвижную стенку

Рис. 1.37. Удар частицы о неподвижную стенку

Этот эффект оказывается существенным в химической кинетике. Например, в экзотермических реакциях при образовании в качестве промежуточного продукта атомарного водорода, очень легкого по сравнению с другими реагентами, его средняя энергия может значительно превышать квази- равновесную. Это явление в кинетике называют «эффектом горячих атомов». Замедленная передача энергии от легкой частицы к тяжелой определяет и релаксационные процессы в лазерах, рабочим телом которых являются соединения галогенидов с водородом.

Полученный результат выполняется с еще большей точностью при столкновении частиц с неподвижной стенкой (например, удар молекулы газа о стенку сосуда (рис. 1.37), когда т2 —> ос). В этом случае частица, движущаяся по нормали к поверхности стенки, «отразится» от нее с прежней по величине и противоположной по направлению скоростью м, = — п, и импульсом (см. рис. 1.37, внизу).

Определим изменение импульса Ар частицы при прямом упругом столкновении ее со стенкой Ар = р[ —р, гдер = mV и р[ = mU, тогда Ар = mx(u — У[), а так как и, — — уь то Ар - — 2mxvx или Арх — — х. Знак минус показывает направление изменения импульса, которое совпадает с направлением «силы упругости», действующей со стороны стенки на частицу во время столкновения. В результате действия этой силы и происходит изменение импульса частицы.

Если частица падает на стенку под углом а к нормали, то составляющая скорости (импульса) на ось, параллельную поверхности стенки, не претерпевает изменения, и только составляющая скорости вдоль оси х принимает участие в передаче импульса стенке (т.е. Ар = = —2pi cos а) (см. рис. 1.37, вверху).

Как это следует из полученных результатов, частица при столкновении со стенкой не изменяет своей кинетической энергии, а стенка получает от частицы импульс, равный 2р.

Можно показать (это мы предоставляем читателю), что при прямом центральном абсолютно упругом столкновении с покоящейся частицей массой т2 налетающая частица массой т передает ей кинетическую энергию

относительная потеря энергии частицей при таком столкновении составляет

Нетрудно видеть, что при равенстве масс {т = т2) первая частица полностью теряет свою энергию, т.е. АТ/Т = 1. При столкновении со стенкой mjm2 -> 0, и тогда ДТхх —» 0, т.е. кинетическая энергия налетающей на стенку частицы не изменяется.

На явлении передачи «быстрой» частицей своей энергии покоящейся частице основан процесс замедления нейтронов в атомных реакторах. Дело в том, что в элементарном акте цепной реакции деления (см. подраздел 9.5) выделяются только быстрые нейтроны. Для осуществления последующего акта цепной реакции — поглощения нейтрона ядром урана-235, например, необходимо замедлить нейтроны до энергии, соизмеримой с энергией теплового движения молекул. Это осуществляется при соударении нейтронов с атомными ядрами вещества замедлителя. Судя по приведенным формулам, лучшим замедлителем было бы вещество, содержащее водород: при однократном лобовом соударении с протоном атома водорода нейтрон теряет всю свою кинетическую энергию (масса нейтрона и масса протона атома водорода почти равны и, без учета также малой массы «водородного» электрона имеем и ~ 0). Однако протоны легко вступают в реакцию с нейтронами, они захватывают нейтрон (с образованием дейтрона — изотопа водорода) и выводят нейтроны из цепной реакции. Поэтому чаще пользуются тяжелой водой D20 (тогда Д7’1/7’1 = 0,9) или графитом (Л 7)/7) = 0,28). Например, отношение ДГ|/Г( для ядер вольфрама составляет 0,02, т.е. удар нейтрона о ядро вольфрама ближе к случаю «удара о стенку» с незначительной потерей кинетической энергии нейтрона.

Неупругое соударение частиц. Соударение частиц (тел) называется неупругим, если их суммарная кинетическая энергия до столкновения не равна (больше) суммарной кинетической энергии после столкновения, — кинетическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю энергию (т.е. взаимодействующие тела меняют свое внутреннее энергетическое состояние, например, температуру — нагреваются или возникает излучение). Признаком абсолютно неупругого столкновения является такое их взаимодействие, при котором происходит частичная или полная потеря кинетической энергии участвующих в нем частиц, при этом частицы после столкновения соединяются и двигаются вместе, как единое целое (или покоятся). Если тела после удара расходятся и движутся независимо друг от друга (некоторые из них могут покоиться), то столкновение просто неупругое (не абсолютно упругое).

При неупругом (абсолютно и не абсолютно) ударе закон сохранения механической энергии не выполняется, так как система диссипативна (механическая энергия переходит в другие виды энергии). Выполняется, конечно, общефизический закон сохранения и превращения энергии, но применить этот закон для определения скоростей после столкновения мы не можем, так как не знаем заранее, какая часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию. Поэтому здесь (например, при неупругом столкновении двух частиц) можно воспользоваться только законом сохранения импульса:

где Р — суммарный импульс[2] частиц после абсолютно неупругого столкновения.

При прямом абсолютно неупругом столкновении все векторы скорости (и импульсы) лежат на одной прямой, проходящей через центр масс частиц. В проекции на ось х, совпадающей с направлением движения, закон сохранения импульса запишется в виде (значок х у проекции импульса и скорости снова опущен)

где и — общая скорость частиц после столкновения.

Из написанного выражения можно найти скорость частиц после столкновения

Теперь можно определить ту часть суммарной кинетической энергии, которая при столкновении перешла в их внутреннюю энергию. Обозначим, как это принято, в частности, в молекулярной физике, изменение внутренней энергии частиц через A U, тогда A U = = Тх + Т2— Т, где Т — суммарная кинетическая энергия частиц после столкновения. В развернутом виде можно записать

Формула (1.178) приводится к виду

(мы рекомендуем читателю сделать это самостоятельно), где р — введенная ранее (см. также формулу (1.87)) приведенная масса системы из двух частиц

Из формулы (1.176) видно, что если частицы одинаковых масс движутся навстречу с одинаковыми скоростями, то их скорость после абсолютно неупругого столкновения равна нулю, и, следовательно, вся кинетическая энергия переходит в этом случае во внутреннюю (частный случай абсолютно неупругого взаимодействие). То же имеет место и для разных масс, когда импульсы тел до удара равны по величине и противонаправлены.

Для студентов-химиков следует специально отметить, что приведенное выше рассмотрение процессов столкновения не может быть прямо перенесено на случай атомно-молекулярных столкновений даже в классическом случае. Это связано, в частности, с тем, что в реальных атомно-молекулярных системах процесс взаимодействия во многом зависит от так называемого адиабатного фактора, т.е. от соотношения времени столкновения и собственных молекулярных частот.

Приведенное выше рассмотрение процессов столкновения не может быть прямо перенесено на случай атомно-молекулярных столкновений даже в классическом случае. Это связано, в частности, с тем, что в реальных атомно-молекулярных системах процесс взаимодействия во многом зависит от так называемого адиабатного фактора, т.е. от соотношения времени столкновения и собственных молекулярных частот.

  • [1] Поэтому в этом случае лучше говорить не о столкновении, а взаимодействии микрочастиц (атомов, молекул и др.).
  • [2] После неупругого столкновения обе частицы объединяются (например, слипаются)и обладают общим импульсом и скоростью.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы