Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Потенциальные кривые

Законысохраненияявляютсянаиболееобщими, фундаментальными законами природы. Они имеют огромное научно-методологическое значение. Их важность определяется тем, что решение огромного числа задач может быть получено с их помощью без подробного анализа частных обстоятельств и деталей. Мы остановимся на двух проблемах: на использовании представлений о потенциальных кривых и на теории столкновений в областях науки, близких к химии.

Одной из главных задач в области физической химии является исследование взаимодействий между частицами — электронами, ядрами, атомами и молекулами. При этом наиболее широко распространенным способом описания этого взаимодействия является язык потенциальных кривых. Потенциальная кривая П(г) представляет собой зависимость потенциальной энергии от расстояния между взаимодействующими телами (частицами). Начало координат при этом связывается с одной из частиц, тогда г представляет собой расстояние между частицами. Как говорилось ранее, при взаимодействии, определяемом силовым полем, потенциальная энергия может приниматься равной нулю, когда частицы «разнесены» на бесконечное расстояние (/•-» оо).

Несмотря на то, что кривая П{г) отражает только изменение потенциальной энергии, с ее помощью, основываясь на законе сохранения механической энергии, можно найти также значение кинетической энергии в каждой точке (при заданной полной энергии Е).

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия. Пусть имеются два точечных тела (МТ) массой т и т2, находящиеся на расстоянии г друг от друга, тогда в соответствии с законом всемирного тяготения потенциальная энергия их взаимодействия Л (г) = -G ,

г

как это было показано выше. В случае сил притяжения (рис. 1.30, а) взаимная потенциальная энергия тел возрастает по мере удаления их друг от друга. На бесконечности потенциальная энергия взаимодействия достигает максимума. По принятому условию, этому максимуму будет отвечать нулевое значение потенциальной энергии {П, -> 0). Но если этот максимум есть нуль, то все значения потенциальной энергии сил притяжения на конечных расстояниях будут отрицательны, что и отвечает приведенной формуле.

Потенциальные кривые сил

Рис. 1.30. Потенциальные кривые сил: а — силы притяжения; б — силы отталкивания

Потенциальная энергия электростатического взаимодействия. Эта

энергия выражается (в СИ) зависимостью П(г) = —-—(закон Ку-

4лс0 г

лона[1]), где q и q2 — величины точечных электрических зарядов; со — электрическая постоянная, г — расстояние между зарядами (знак потенциальной энергии здесь учитывается «автоматически» за счет знаков взаимодействующих зарядов, что следует из закона Кулона — рис. 1.30, а или б). В случае разноименных зарядов потенциальная энергия взаимодействия (притяжения) отрицательна. Характер зависимости потенциальной энергии от расстояния между разноименными зарядами такой же, как в случае гравитационного взаимодействия. В случае одноименных зарядов (оба положительные или оба отрицательные) потенциальная энергия их, разведенных на бесконечность, по-прежнему является минимальной (нулевой), следовательно, одноименные заряды (заряды одного знака), расположенные на конечных расстояниях, обладают положительной потенциальной энергией (энергия отталкивания (рис. 1.30, б)).

Потенциальная энергия упругого взаимодействия. В подразделе 1.2.5 были рассмотрены особенности сил упругого взаимодействия (формула (1.58)). Отмечалось, что этого вида силы проявляют себя и в макро- и в микромире. Деформируя тело или «растягивая» межмолекулярную связь, внешние силы совершают работу. Величина этой работы будет численно равна потенциальной энергии упругого взаимодействия и,

1 ?

как указывалось в подразделе 1.3.5, П(х) = -fix , где х — величина аб

солютной деформации (растяжения-сжатия).

Графически эта зависимость изображается параболой, симметричной относительно начала координат (рис. 1.31). Так как силы упругости консервативны, то согласно закону сохранения механической энергии полная энергия Е постоянна. Это изображено на графике горизонтальной прямой линией Е = const. В произвольной точке, соответствующей смещению х = а, величина потенциальной и кинетической энергии выражается вертикальными отрезками П(а) и Т(а). В этой точке на частицу со стороны «пружины» действует сила, направленная к началу координат. По мере приближения к началу координат кинетическая энергия Т частицы возрастает (как на качелях) и в точке х = 0, отвечающей положению равновесия, достигает максимума (Гтах = Е, так как здесь /7(0) = 0). Продолжая движение по инерции, частица теряет свою кинетическую энергию до тех пор, пока она не станет равной нулю в точке х = х0 (также и в точке —х0). В этой точке потенциальная энергия достигает максимума и равна полной энергии

максимальное смещение. Таким образом,

Потенциальная энергия упругого взаимодействия

Рис. 1.31. Потенциальная энергия упругого взаимодействия

максимальное смещение частицы определяется ее полной энергией Е и жесткостью |3

Знак плюс соответствует смещению частицы в положительном направлении оси Ох и знак минус — в отрицательном. Частица совершает колебательное движение относительно начала координат.

Межмолекулярное взаимодействие. Не вдаваясь в его природу, можно сказать, что между молекулами действуют одновременно как силы притяжения, так и силы отталкивания. Из-за того, что силы притяжения убывают с увеличением межмолекулярного расстояния г медленнее, чем силы отталкивания, на больших расстояниях преобладают силы притяжения, а на малых — силы отталкивания. Одним из простых функциональных приближений для этого вида взаимодействия является степенная зависимость потенциальной энергии от расстояния г между молекулами _

где а и b константы, зависящие от взаимодействующих молекул. Это так называемая потенциальная функция или потенциал Леннард- Джонса[2] «6—12», предложенная им (в 1924 г.) для описания парного взаимодействия парного неполярных молекул. Первый член степени —6 расстояния г выражает собой зависимость потенциальной энергии сил притяжения, второй, степени —12 — зависимость потенциальной

энергии сил отталкивания от расстояния г. На рисунке 1.32 пунктирными линиями приведены обе зависимости, а сплошной линией — результирующая кривая, отвечающая выражению (1.151).

Формулу Леннард-Джонса (1.151) иногда записывают иначе

где ? и а — некоторые постоянные, харак- Рис. 1.32. Потенциал Леннард-Джонса терные для рассматриваемых молекул.

Исследуем изменение силы, действующей на частицу 2 по мере приближения ее к началу координат, где находится частица 1. Для этого можно воспользоваться связью центральной силы с потенциальной энергией в форме (1.133) и провести графическое дифференцирование зависимости П{г) (рис. 1.33). Видно, что на больших расстояниях производная мала (мал тангенс угла наклона касательной КК к оси абсцисс) и положительна (угол а — острый). Сила F, действующая на частицу 2, при этом отрицательна (см. (1.133)). Это значит, что эта сила направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси г, т.е. к началу координат (сила притяжения). По мере приближения второй частицы к первой производная растет и в точке А (на рис. 1.33) до-

dr

стигнет своего максимума (угол наклона касательной имеет в этой точке наибольшее значение). В этой точке сила /"отрицательна и имеет мини

d/7

dr

начнет

мум (максимальное значение силы притяжения). Затем

убывать и в точке г0 обращается в нуль (касательная к кривой Я(г) параллельна оси абсцисс). В этой точке силы притяжения и отталкивания, действующие на частицу 2, взаимно уравновешены. Расстояние г0 принято называть равновесным расстоянием. На расстояниях г < г0 угол а становится тупым (например, в точке В), и тангенс угла наклона касательной изменяет знак (^^ < 0). Это значит, что сила / изменяет свое

dr

направление — становится положительной (F> 0) силой отталкивания, и затем быстро растет по мере приближения частицы 2 к началу координат. График зависимости F(r) показан внизу на рис. 1.33.

Зависимость потенциальной энергии и силы от расстояния между частицами

Рис. 1.33. Зависимость потенциальной энергии и силы от расстояния между частицами

При рассмотрении кривой П(г) (см. рис. 1.32 и 1.33), выражающей зависимость потенциальной энергии взаимодействия от координаты частицы, можно убедиться в том, что, только находясь в состоянии с минимальной потенциальной энергией (положение равновесия), частица не испытывает силового воздействия. При смещении частицы вправо или влево от положения, в котором потенциальная энергия минимальна, возникают силы, направленные всегда к положению равновесия. Поэтому можно сказать, что частица всегда будет стремиться занять положение, отвечающее минимальному значению потенциальной энергии (но силы инерции ей этого сделать не позволяют, если, конечно, при этом не происходит диссипация энергии).

Движение частицы в силовом поле с потенциалом Леннард- Джонса при полной энергии Е > 0. в — глубина потенциальной ямы

Рис. 1.34. Движение частицы в силовом поле с потенциалом Леннард- Джонса при полной энергии Е > 0. в — глубина потенциальной ямы

Проследим теперь за изменением кинетической и потенциальной энергии при сближении молекул. Пусть полная энергия Е > 0 (везде положительна). Как мы уже условились, потенциальная энергия взаимодействия на бесконечно большом удалении равна нулю. Следовательно, кинетическая энергия Т здесь равна полной энергии Е (рис. 1.34). По мере приближения молекулы к началу координат ее кинетическая энергия будет возрастать, и в точке равновесия (г0, см. рис. 1.34) достигнет максимума. При дальнейшем сближении (г < г0) кинетическая энергия молекулы будет убывать до тех пор, пока не станет равной нулю в точке г = а. Согласно закону сохранения механической энергии, полная энергия в этой точке будет равна максимальной потенциальной энергии Е = /7(ст) = /7,шх. Минимальное расстояние а (см. рис. 1.34), на которое могут сблизиться центры масс молекул, называется эффективным диаметром молекул. После почти мгновенной остановки все явления будут протекать в обратной последовательности, и молекула вернется в первоначальное положение (удалится на «бесконечность»), обладая той же кинетической энергией, которая была у нее до сближения. В этом случае движение частицы не ограничено в пространстве. Такое не ограниченное в пространстве движение называется инфинитным.

Иначе будет вести себя частица, полная энергия которой оказывается отрицательной (П < 0, но |П > Т, тогда Е < 0). В этом случае частица окажется «запертой» в потенциальной яме шириной Гпих - rmin (рис. 1.35). Частицы не могут сойтись ближе, чем до расстояния rmin, и не могут и удалиться дальше, чем на расстояние rmax. Такое ограничение в пространстве движения называется финитным (ограниченным). При этом частицы будут совершать колебательное движение около положения равновесия (точка г = г0).

Движение частиц в поле с потенциалом Леннард-Джонса при полной энергии Е

Рис. 1.35. Движение частиц в поле с потенциалом Леннард-Джонса при полной энергии Е < О

Из анализа качественно полученных результатов можно сделать один важный вывод. Если полная энергия системы двух частиц положительна (Е > 0), то связанного состояния частиц не возникает (предполагается, что внутреннее состояние частиц при этом не изменяется), если полная энергия частиц отрицательна (Е < 0), то возникает связанное состояние. Этим критерием мы будем пользоваться в дальнейшем при оценке возможности возникновения связанного состояния атомов и молекул.

  • [1] Закон Кулона и другие законы электростатики будут подробно рассмотрены в главе 5.
  • [2] Джон Эдвард Леннард-Джонс (1894—1954) — английский физик и химик-теоретик.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы