Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Принцип независимости действия сил.

Когда мы говорим о силе, действующей на тело, то подразумеваем действие какой- либо одной силы. Однако во многих случаях тело находится под одновременным действием нескольких сил. В этом случае справедлив так называемый принцип независимости действия сил.

Сущность его заключается в следующем: если на тело одновременно действует несколько сил, то ускорение, приобретенное телом под действием каждой силы в отдельности, не зависит от того, действуют ли на тело в данный момент другие силы или нет.

Пусть на тело одновременно действует несколько сил Д, F2, Д, Тогда /'-я сила сообщит телу ускорение а, = Д /т. При одновременном действии всех сил тело приобретает ускорение, равное векторной сумме всех ускорений,или

что является обобщением второго закона Ньютона на случай одновременного действия нескольких сил. Векторная сумма сил, действующих на тело, называется равнодействующей (или результирующей) сил, приложенных к нему. Ускорение телу сообщает результирующая сила, направление ускорения совпадает с ее направлением.

Уравнения движения тела, к которому приложены Ncwi, можно записать и в координатной форме

где в правых частях равенств стоят суммы соответствующих проекций всех N сил, действующих на тело, на оси декартовой системы координат.

Две основные задачи динамики материальной точки. Структура динамических уравнений определяет содержание двух основных задач динамики материальной точки. Рассмотрим эти задачи на примере прямолинейного движения точки (тела) вдоль оси х, описываемого уравнением тх = Fx.

Первая задача: задано кинематическое уравнение движения МТ: х =/(/)• Зная массу т точки, определить силу. Решение сводится к двукратному дифференцированию уравнения движения и последующей подстановке найденной второй производной, умноженной на т, в дифференциальное уравнение движения.

Вторая задача: задана сила. Зная массу МТ, требуется определить кинематическое уравнение движения. Эта задача связана с решением дифференциального уравнения второго порядка. Поскольку сила может являться более или менее сложной функцией времени, положения тела или (и) его скорости, то решение уравнения иногда сопряжено с определенными математическими трудностями.

Рассмотрим несколько примеров.

Сила является линейно возрастающей функцией времени Fx = kt (где к — постоянный коэффициент) и направлена вдоль оси х; кроме того, известно, что при t = 0 скорость их = Vo, а отсчет расстояния ведется от начального нулевого положения, т.е. при t = 0 Хо = 0. Дифференциальное уравнение движения будет иметь вид: тх = kt. После понижения порядка производной и разделения переменных получим

Первое интегрирование дает

Постоянную интегрирования находим из начального условия — при t = О

vx = vo. Подставляя его, получим Ci = v0, т.е. vx =^—+ v0. Так как их = —, то

2т dt

Разделяем переменные и интегрируем

При t = О координата х = О, следовательно, и с2 = 0. Итак, окончательно, уравнение движения

Сила является линейной функцией смещения: F(x) = —fix (такая зависимость характерна для упругих сил, например, при сжатии или растяжении пружины). Примем также начальные условия предыдущего примера, а именно: при 1 = 0 vx = v0 и х0 = 0. Дифференциальное уравнение движения будет иметь вид:

тх = -fix. Понижаем порядок производной, тогда м—^ = -fix. Попытка раз-

d/

делить переменные в этом уравнении наталкивается на затруднение потому, что этих переменных не две, а три. Необходимо перейти в левой части от аргу-

мента 1 к аргументу х. Это можно сделать, умножив и разделив выражение

dor

dt на dx. Действительно,Произведя замену и разделив переменные, получим

Интегрирование дает

При t = 0 координата х0 = 0, поэтому с2 = 0. Тогда

т.е. под действием упругой силы тело совершает периодическое колебательное движение по закону синуса (или при преобразовании фазы t

в ( Jfi/m ? t-я/2 ) по закону косинуса).

Сила является линейной функцией скорости. Этот случай характерен для движения тела в тормозящей среде (вода, воздух и др.), когда действующая на него сила является силой сопротивления, препятствующей движению. Найдем уравнение движения шара массой т, падающего под действием силы тяжести mg в вязкой среде, создающей силу сопротивления движению Fc = —kvx (где к — некоторый постоянный коэффициент, зависящий от вязкости среды), полагая Vo = 0 и Хо = 0 при t = 0 (ось х направлена вертикально вниз). Дифференциальное уравнение движения будет иметь вид mx = mg-kvx.

Выполнив все необходимые предшествующие интегрированию операции, получим

Интегрирование дает

С использованием начальных условий находим

при 1 = 0 и дго = 0, найдем с2 = j g. Тогда

Таково уравнение движения падающего в вязкой среде шара

Зависимость от времени скорости движения тела при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости

Рис. 1.9. Зависимость от времени скорости движения тела при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости

Возвращаясь к зависимости v(t), заметим, что с увеличением времени 1 выражение, стоящее в скобках, приближается к единице, и соответственно их —> mg/к (рис. 1.9). Практически это означает, что по прошествии времени (в пределе при t —» оо) скорость становится постоянной (установившееся движение). Это соответствует равенству силы тяжести mg силе сопротивления среды. Определение к из соотношения о(оо) = mg/к (установившаяся скорость Пуст = о(оо) находится из эксперимента) является широко используемым способом измерения вязкости среды (см. подраздел 4.7.10, формула (4.201)).

Движение тела с переменной массой. В некоторых задачах механики масса тела в процессе движения не остается постоянной. Примером могут служить системы, работа которых основана на сгорании топлива, запасенного в самой движущейся системе. Выведем основные законы такого движения на примере движения ракеты (рис. 1.10).

Рис. 1.10.

Движение ракеты

В полете ракета выбрасывает продукты горения, воздействуя на них изнутри камеры сгорания с большой силой. С той же по величине силой R, но противоположно направленной, эти продукты действуют на ракету, сообщая ей ускорение. При старте с Земли на ракету, кроме того, действует сила тяжести F= mag (где т0 — стартовая масса ракеты), направленная вертикально вниз. Во время полета из-за расхода топлива масса ракеты уменьшается, т.е. является зависящей от времени функцией m{t). Скорость и ракеты также зависит от времени t. За время с1/ масса и скорость ракеты получат приращения dm и du, причем величина dm отрицательна (масса ракеты уменьшается). Через dt импульс ракеты станет равен (т + dm)(v + do), а мгновенный импульс переведенного в газообразное состояние топлива — dmTVr, где dmt — изменение массы газа за время dt, а иг — скорость истечения газов, т.е. скорость частичек сгоревшего топлива относительно ракеты. Приращение импульса ракеты за время dt получится вычитанием из конечного импульса его начального значения. Эта разность согласно уравнению (1.49) равна импульсу силы Fdt. В проекции на ось, вдоль которой направлены скорость ракеты и внешняя сила /Хейла притяжения Земли или планеты, с которой производится старт) для системы ракета-газы имеем уравнение

Раскрывая скобки и учитывая, что dтт = —dm (изменение массы ракеты обусловлено расходом топлива), а также вводя oOTH — иг — и 0тн скорость истечения газов относительно ракеты) и пренебрегая членом (dmdv) второго порядка малости, получим: mdv = vOTHdm + Fdt или

Это уравнение второго закона Ньютона. Однако масса здесь не постоянна, она меняется со временем из-за сгорания топлива. Кроме

того, к внешней силе прибавляется дополнительный член и0ТН — = R,

d 1

который представляет собой реактивную силу или силу тяги ракеты (рис. 1.10). Это уравнение впервые было выведено И.В. Мещерским1 и носит его имя.

Если отсутствует (или пренебрежимо мала) внешняя сила (сила тяжести, в нашем случае), т.е. F= 0 (движение в космическом пространстве вдалеке от Земли и тяготеющих небесных тел), на ракету действует только реактивная сила. Из решения уравнения (1.53) при начальных условиях: стартовая масса т(0) = т0 и стартовая скорость и(0) = о0, и постоянной скорости истечения газов (dm/dt = const, что соответствует постоянному расходу топлива) следует: под действием реактивной силы движение ракеты происходит со скоростью, зависящей от времени по закону

1 Иван Всеволодович Мещерский (1859—1935) — российский ученый, основоположник механики тел переменной массы.

Из уравнения (1.54) можно получить связь между мгновенной массой и скоростью ракеты (при неподвижной на старте ракете, vq = 0):

Два последних соотношения называются формулами Циолковского[1].

  • [1] Константин Эдуардович Циолковский (1857—1935) — русский и советский ученый,основоположник современной космонавтики.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы