Второй закон Ньютона. Некоторые задачи динамики движения тел

Всякое изменение характеристик движения тела или взаиморасположение его частей вызывается действием на него других тел. Количественная мера механического воздействия на тело со стороны других тел или воздействия силового поля называется силой (векторная характеристика). Это воздействие может проявляться либо в изменении скорости тела (появлении ускорения), либо в изменении его формы — деформации. И то и другое может быть измерено, поэтому и сила может быть количественно определена экспериментально.

Второй закон Ньютона устанавливает связь между изменением скорости движения и силой F, вызывающей это изменение. Обобщением большого числа экспериментальных фактов было установлено, что сила F пропорциональна ускорению (F ~ а). Этот закон был сформулирован следующим образом: изменение скорости движения

тела пропорционально приложенной силе и происходит по направлению, совпадающему с направлением действия силы.

При действии одной и той же силы на различные тела приобретаемые ими ускорения различны. Эти ускорения зависят от массы тел. В данном случае масса выступает в качестве коэффициента пропорциональности между силой, действующей на тело, и его ускорением. Такая масса называется инертной или инерционной (в отличие от гравитационной, о которой речь пойдет далее). Можно сказать, что масса есть мера инертности тела при его поступательном движении.

Математическое выражение второго закона Ньютона для движения тел постоянной массы в векторной форме имеет вид

и в координатной форме

Уравнения (1.44), (1.45) называются дифференциальными уравнениями движения.

При произвольной (в том числе и зависящей от времени) массе, уравнение (1.44) можно представить в обобщенной форме

Это уравнение представляет собой наиболее общее математическое выражение второго закона Ньютона, справедливое для всех случаев (для релятивистской и квантовой механики также). В него введен вектор р, равный произведению массы тела и скорости его движения, называемый импульсом1

Направление импульса совпадает с направлением вектора скорости. Величина импульса материальной точки (или тела) может быть выражена через проекции вектора скорости в декартовой системе координат

где рху и рг — проекции вектора р на оси декартовой системы координат.

1 Иногда в литературе можно встретить синоним импульса — количество движения.

Уравнение (1.46) дает связь между силой и изменением импульса, которое она вызывает

Это выражение показывает, что изменение импульса тела пропорционально силе, действующей на него, и времени ее действия. Произведение Fit называется элементарным импульсом силы.

Второй закон Ньютона

Рис. 1.8. Второй закон Ньютона: связь между направлением силы и приращением импульса материальной точки

Второй закон Ньютона можно переформулировать следующим образом: изменение импульса тела пропорционально приложенной к нему силе и происходит по направлению прямой, по которой она действует (рис. 1.8).