Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Кинематические характеристики вращательного движения

Вращательное движение распространено в природе не менее (а может быть и более), чем поступательное движение. Действительно, движение электронов вокруг ядра (в рамках боровской модели атома — см. далее подраздел 7.7), Земли и планет вокруг Солнца, вращение деталей и узлов в технике, вращение колеса — все это примеры вращательного движения. Можно видеть, насколько вращательное движение многообразно, а впоследствии мы узнаем, к каким непривычным для нас явлениям приводят его закономерности. Под вращательным движением ATT понимают вращение его как целого вокруг неподвижной оси, называемой осью вращения. При этом все точки твердого тела вращаются около этой оси в параллельных плоскостях, описывая окружности с центрами, лежащими на оси вращения.

При вращении все точки ATT имеют разные по величине и направлению линейные скорости, зависящие от расстояния точки до оси вращения. Поэтому для описания вращательного движения вводятся угловые кинематические характеристики, единые для всего тела: угловое перемещение, угловая скорость и угловое ускорение.

Ограничим себя здесь рассмотрением одного случая — случая вращения вокруг оси, положение которой не меняется со временем.

Угловое перемещение. Рассмотрим тело, вращающееся вокруг оси Oz (рис. 1.5). Выделим в теле произвольную, не лежащую на оси вращения точку А. В соответствии с определением вращательного движения эта точка описывает окружность, центр которой О'лежит на оси Oz. Положение точки определяется с помощью радиус-вектора г, проведенного из начала координат (точка О) в рассматриваемую точку А. Проекция этого вектора на плоскость, перпендикулярную оси вращения, — это радиус R окружности, которую описывает при своем движении точка А.

Вектор углового перемещения dcp

Рис. 1.5. Вектор углового перемещения dcp

При вращении ATT перпендикулярные плоскости, проходящие через ось вращения и радиус-векторы всех его точек, поворачиваются на одинаковый угол. Пусть тело повернулось на угол с1ф, называемый угловым перемещением. Для того чтобы указать, в какую сторону происходит поворот, условились угловое перемещение считать вектором, направление которого определяется правилом правого винта (правилом буравчика). Напомним, как применяется это правило: если винт с правой резьбой совместить с осью вращения (направление острия винта произвольно вдоль или противоположно направлению оси) и поворачивать его в направлении, совпадающем с вращением тела, то направление поступательного перемещения винта по оси вращения совпадет с направлением вектора dtp.

Соотношение между угловой ш и линейной о скоростью

Рис. 1.6. Соотношение между угловой ш и линейной о скоростью

Векторы, направления которых связываются с направлением вращения, называются аксиальными векторами. Угловое перемещение dtp есть аксиальный вектор, равный по абсолютной величине отношению длины дуги d/, описываемой точкой, к радиусу вращения R и направленный вдоль оси вращения по правилу правого винта

где к — орт, ориентированный по оси вращения Oz.

Угловой скоростью ш называется предел, к которому стремится отношение малого углового перемещения Дф (рис. 1.6), определенного за некоторый интервал At времени, к величине этого интервала при его стремлении последнего к нулю

Угловая скорость есть первая производная от вектора углового перемещения по времени. Она показывает быстроту изменения угла поворота. Угловая скорость со также является аксиальным вектором, направление которого совпадает с направлением вектора бф.

Угловым ускорением ё называется предел, к которому стремится Д(0 „

среднее ускорение —, определенное за некоторый интервал времени At

At, при стремлении этого интервала к нулю

Угловое ускорение также является аксиальным вектором.

Возможна разная взаимная ориентация векторов угловой скорости и углового ускорения: угловая скорость нарастает (do) > 0), тогда вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости (оба направлены вдоль оси вращения); угловая скорость убывает (dco < 0), тогда вектор углового ускорения противонаправлен вектору угловой скорости.

Между угловыми и линейными характеристиками существует связь. Так, из рисунка 1.5 видно, что d/ = Z?dcp. Значит, абсолютная

„ dtp , d /

величина угловой скорости определится из <в = —, где dcp =—, как

dr R

со = ——, где d//dr = и — линейная скорость точки. Поэтому со = v/R или

или

Аналогично получим связь между угловым ускорением е и линейным ускорением а.. Абсолютная величина углового ускорения равна е = dco/dt, где со = v/R, тогда е = dv/(Rdt). Поскольку dv/dt есть линейное (тангенциальное) ускорение at, то е = aJR или

Приведенные формулы (1.32), (1.33) связывают между собой угловые и линейные кинематические характеристики[1]. Эту связь можно представить и в виде векторных соотношений

и

где прямые скобки означают операцию векторного умножения.

Из определения со (1.30) и е (1.31) интегрированием при е = const можно получить связь между угловой скоростью и угловым ускорением при равнопеременном (ускоренном или замедленном) вращении

где соо — угловая скорость в начальный момент времени.

Аналогично двукратным интегрированием (1.31) можно получить соотношение и для модуля углового перемещения

Здесь фо — угловое положение вращающейся точки (тела) в начальный момент времени.

Выражения (1.36), (1.37) по структуре эквивалентны тем, что были получены для поступательного движения (формулы (1.27) и (1.28)). Забегая вперед, можно утверждать, что практически во всех случаях, структура выражений для поступательного и вращательного движений формально одинакова, надо только характеристики поступательного движения заменить соответствующими характеристиками вращательного движения.

Тем не менее вращательное движение отличается от поступательного тем, что оно периодично во времени, т.е. значения угла ф (положения тела в пространстве) повторяются через определенные промежутки времени. Если эти промежутки повторения одинаковы (равномерное вращение при со = const), то для характеристики такого движения можно ввести понятие периода Т, как времени одного полного поворота (на 2п или 360°) и, соответственно, частоты вращения — числа полных оборотов в единицу времени v = 1/7”. Имея в виду, что один оборот соответствует угловому перемещению равному 2л радиан, для угловой скорости получаем: со = 2лу = 2п/Т.

Отличие угловых векторных характеристик вращательного движения от соответствующих характеристик поступательного движения в том, что аксиальные угловые векторы ориентированы не в направлении (или против направления) движения каждой из точек твердого тела, а вдоль оси вращения (перпендикулярно плоскости вращения). С этим связаны многие свойства вращательного движения, речь о которых пойдет далее (см. подраздел 1.2.9).

В общем случае произвольное движение твердого тела, или МТ, может быть представлено в виде сочетания поступательного движения материальной точки, расположенной в его центре масс (см. подраздел 1.2.7) и вращения относительно этого центра.

  • [1] С учетом (1.32) и (1.33) формула (1.23) может быть представлена как а = R(ci + u>2n),
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы