Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Общая физика
Посмотреть оригинал

Кинематика

Кинематика материальной точки. Кинематика поступательного движения твердого тела

Кинематика — раздел механики, изучающий движение материальных тел с точки зрения их пространственно-временных отношений без учета масс и действующих на них сил.

Для описания движения точки в пространстве и во времени тела и связанной с ним точки-маркера необходимо выбрать систему отсчета. Системой отсчета[1] называется совокупность прибора для отсчета времени (часов) и набора тел, условно принимаемых за неподвижные, по отношению к которым рассматривается движение. Время представляется непрерывно меняющейся скалярной величиной, отсчитываемой по единой для всех систем отсчета шкале, причем обычно предполагается, что отрицательным оно быть не может. В задачах кинематики время /' рассматривается в качестве независимого переменного (аргумента), а остальные кинематические параметры рассматриваются как функции времени.

С системой отсчета может быть связана система декартовых (прямоугольных), полярных (цилиндрических) или сферических координат. Точка (и точка-маркер) при своем движении в пространстве описывает некоторую непрерывную линию, которую называют траекторией. В ряде случаев сама траектория задает направление движения (например, железнодорожные рельсы задают движение перемещающихся по ним вагонов). В фиксированный момент времени, которому соответствует определенное положение тела, в качестве естественных осей могут быть приняты: касательная, проведенная через данную точку траектории, главная нормаль и бинормаль1. Главная нормаль перпендикулярна к касательной и направлена к центру кривизны. Для плоских движений необходимость во введении бинормали отпадает. Направление касательной и нормали задаются единичными векторами — ортами тип.

Угол смежности Д

Рис. 1.1. Угол смежности Д<р

Напомним некоторые сведения из области дифференциальной геометрии. Если к двум разным точкам А и В плоской кривой провести касательные, заданные ортами т, и т2 (рис. 1.1), а затем провести из точки А прямую, параллельную т2, то образованный таким образом угол Дф принято называть углом смежности.

При сближении точек А и б длина дуги АВ = A/ стремится к нулю. В пределе отношение Дф/Д/ дает кривизну К траектории в данной

точке:

Величина, обратная кривизне К = 1 /К,

есть радиус кривизны кривой в данной точ- и кРивизна к

_ траектории

1 Бинормаль (нормаль двоякой кривизны) — перпендикуляр, восстановленный из точки на кривой к соприкасающейся плоскости, т.е. это прямая, перпендикулярная главной нормали и касательной к кривой в данной точке.

ке А. Для плоской кривой, задаваемой функцией у =f(x), радиус кривизны может быть найден из формулы[2]

Радиусом кривизны окружности является ее радиус, радиус кривизны прямой бесконечность.

Простейшим объектом исследования в механике является материальная точка (МТ). Под материальной точкой понимается тело, размерами и формой которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Материальные объекты в разных задачах могут рассматриваться по-разному: материальной точкой может быть представлена молекула, ударяющаяся о стенку сосуда, элемент объема бКдвижущейся жидкости (его масса dm = pdF, р — плотность жидкости), Земля при ее движении вокруг Солнца и др. Те же объекты в других условиях (многоатомная молекула во вращательной спектроскопии, Земля при ее вращении вокруг собственной оси и др.) уже не могут считаться материальными точками, так как размеры объекта становятся существенными для анализа его поведения.

Под твердым телом далее будем понимать абсолютно твердое тело {ATT) — расстояние между любыми двумя точками в котором не изменяется при любых внешних воздействиях.

Движение ATT называется поступательным, если любой отрезок прямой, жестко связанный с телом, перемещается при его движении

Поступательное движение твердого тела. Прямая АВ, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе

Рис. 1.2. Поступательное движение твердого тела. Прямая АВ, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе

параллельно самому себе (рис. 1.2). Поступательное движение может быть и движением по окружности (не вращательным, а именно поступательным), как это имеет место, например, при движении (без качания) кабины колеса обозрения или педали велосипеда. Оно может быть прямолинейным (с радиусом кривизны R -> оо), когда его траекторией является прямая линия и, в общем случае, криволинейным.

Таким образом, описание движения всего тела сводится к рассмотрению законов, характерных для кинематики материальной точки, за которую можно принять любую точку ATT. Обычно за такую точку выбирают его центр масс (см. далее подраздел 1.2.7).

При этом задача кинематики заключается в описании движения точки, т.е. составлении математических уравнений, необходимых для определения ее положения в пространстве в любой момент времени. В декартовой системе координат этой зависимости радиус-вектора г от времени, т.е. r(t), соответствуют три уравнения для координат x(t), у(0 и z(t).

Вектор перемещения Аг и длина пути АсВ

Рис. 1.3. Вектор перемещения Аг и длина пути АсВ

Если тело за время At переместилось из точки А в точку В по дуге АсВ (рис. 1.3) (/| и г2 — радиус-векторы положений этих точек, проведенные из начала координат, находящегося в точке О), то вектор Аг — г2 — г{ называется вектором перемещения тонки. При этом путь, пройденный точкой за это время, не равен Аг = Аг, а представляется длиной дуги АсВ.

То есть путь и перемещение — не одно и то же.

Если вы утром выехали из гаража на машине и, проездив день, вернулись назад, то перемещение за день оказывается равным нулю, тогда как путь, отмеченный на спидометре, будет нулю не равен.

Путь и перемещение могут равняться друг другу в двух случаях: в первом, если движение происходит по прямой в одном направлении и, во втором, — в пределе при At -» 0.

Средней скоростью точки <0> за время At называется отношение перемещения точки Аг к величине этого интервала времени At

Мгновенной скоростью в момент времени t называется предел отношения Аг к At при стремлении At к нулю (At -» 0)

Для краткости написания производные функций по времени принято обозначать точкой над символом, обозначающим данную функцию.

Скорость тонки есть физическая величина, численно равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Выясним, что будет представлять собой вектор мгновенной скорости по модулю (абсолютной величине) и направлению. Для этого в уравнении (1.4) умножим числитель и знаменатель на величину длины дуги Л/. Тогда

Что касается направления вектора д, то в пределе при At -» 0 секущая займет положение касательной к траектории в точке А, следовательно, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории (см. рис. 1.2), а по модулю равен первой производной по времени от функции /(/), выражающей уравнение движения точки.

Радиус-вектор r(t), определяющий положение точки в пространстве в момент времени /, может быть представлен в виде разложения по ортам декартовой системы координат

Тогда

и вектор скорости можно представить в виде

где их, vy и vz — проекции вектора скорости на координатные оси.

Сопоставляя (1.8) и (1.9), приходим к выводу, что

Модуль вектора скорости, представленный как диагональ параллелепипеда, построенного на проекциях этого вектора, составит

Ускорение характеризует изменение вектора мгновенной скорости во времени. Пусть за время At точка переместилась по траектории, причем этому перемещению сопутствовало изменение вектора скорости, как по модулю, так и по направлению. Тогда изменение скорости за промежуток времени At выразится разностью Av = и2-01. Среднее ускорение за время At составляет

Ускорение в данный момент времени (мгновенное ускорение) есть предел отношения (Ли/At) при At -» О

Ускорение есть мера быстроты изменения скорости точки, равная производной по времени от ее скорости.

Если взять выражение для скорости материальной точки в виде (1.9) и продифференцировать его по времени, то получим

Единичные векторы /, j и к от времени не зависят.

Вектор ускорения а может быть выражен через свои проекции

где ах, в,ив, — проекции вектора а на координатные оси декартовой системы координат.

Сопоставляя (1.14) и (1.15), получим и соответственно

При криволинейном движении вектор скорости можно представить в виде произведения 0 = от, где т — орт вектора скорости (касательной). Так как точка, двигаясь по криволинейной траектории, «тянет» за собой вектор т, положение последнего тоже зависит от времени. Тогда

Выражение (1.18) показывает, что ускорение есть сумма двух векторов, из которых один (первый член суммы) направлен по касательной, и по модулю равен производной от модуля скорости по времени. Для определения модуля и направления второго члена этой суммы необходимо показать сущность производной di/d/.

Пусть направление вектора скорости в двух смежных положениях (точкахЛ и В), отделенных промежутком времени At при перемещении МТ из А в В, задано ортами i] и т2 (рис. 1.4).

Тогда изменение вектора т за время At выразится вектором Ат = т2-тр Будем рассматривать производную

dr Ат

—, как предел отношения — при d t At

At -> 0. Из равнобедренного (векторы Tt и т2 единичные, Tt =АС= т2 = AD = = т = 1) треугольника ACD найдем , . значение модуля вектора Ат:

Ат . Лер . .

— = sin-^-, или Ат —> Дер, так как при

Рис. 1.4. К вычислению — тогда

At

Дф —э 0 (для At -? 0 угол Дф стремится к нулю) $т(Дф/2) а Дф/2.

Тогда

Умножая числитель и знаменатель функции Дф/Д/ на длину дуги А/, получим

Рассмотрим каждый из этих пределов. Поскольку угол Дф есть угол

смежности, то lim— равен кривизне (К = 1/R, см. (1.1)) кривой

д/->о Д/

в точке А. Второй предел представляет собой модуль скорости

г А/ d/ ы 1ш — = — = v. Итак,

At d t

Для определения направления вектора (dx/dt) проведем из точки А прямую параллельную вектору Ат (отрезку CD) и исследуем, какое значение примет в пределе At -> 0 угол САЕ. Как видно из рис. 1.4,

В пределе при At -> 0 угол смежности dx Ах

Дш —> 0, a ZCAEп/2. Следовательно, вектор — = Игл — будет на-

d t ^->0 At

правлен по нормали п к центру кривизны в точке А и может быть представлен как

Возвращаясь к сумме (1.18), запишем

Таким образом, полное ускорение а при криволинейном движении может быть разложено на две составляющие: на касательное ускорение

и нормальное ускорение

Касательная (тангенциальная) составляющая влияет на абсолютное значение скорости, тогда как нормальная — на ее направление (и только на направление). Модуль полного ускорения составляет

Выведенные выше соотношения справедливы для общего случая движения точки по криволинейной траектории с произвольным режимом изменения скорости.

При прямолинейном движение: R -> оо, ап = 0, а = а т. То есть при равнопеременном (ускоренном или замедленном) прямолинейном движении ах = а = const 5* 0, ап = 0. В этом случае легко получить выражение для скорости точки и пройденного ею пути в любой момент времени. Действительно, интегрирование выражения dv/dt = ах = а (1.24) по времени дает

где v0 — скорость в момент времени 1= 0.

Пройденный при прямолинейном движении путь можно получить из выражения (1.27) повторным интегрированием

где лсо — координата точки в начальный момент времени.

Рассмотрим далее кинематические характеристики вращательного движения материальной точки и твердого тела.

Как указывалось ранее, все полученные результаты можно перенести на описание поступательного движения твердого тела (точнее ATT).

  • [1] Систему отсчета следует отличать от системы координат — чисто геометрического понятия, в котором нет массы. Для выполнимости принципа относительности Галилея-Эйнштейна (см. далее подраздел 1.2.2) необходимо связывать с системой отсчета массу,много большую массы любого, движущегося относительно нее тела.
  • [2] Здесь и далее наиболее важные формулы и соотношения будут выделяться рамкой.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы