Напряженность и потенциал электрического поля

Напряженность электрического поля

Напряженность ЭП — характеристика векторная, определяемая в каждой точке и величиной, и направлением. Если в ЭП поместить малый положительный заряд, который своим присутствием не вызовет заметного перераспределения зарядов на телах, создающих поле, то отношение силы, действующей на заряд, к величине заряда Q определяет напряженность поля в данной точке:

Таким образом, Е — силовая характеристика ЭП, определяемая при условии, что внесенный в данную точку поля заряд не исказил поля, существовавшего до его внесения. Отсюда следует, что сила /, действующая на точечный заряд Q, внесенный в поле, будет равна

где Ё — напряженность ЭП в точке расположения заряда, а напряженность численно равна силе, действующей на единичный заряд.

Если использовать закон Кулона, который является исторически первым законом из области электромагнитных явлений и определяет силу / взаимодействия двух точечных электрических зарядов Q и Q₂, то сила, действующая по прямой х, соединяющей эти заряды, будет равна

где с — абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, то модуль напряженности Е в поле точечного заряда можно определить в виде

Рис. 9.1. Картина ЭП

Поскольку сила, действующая на электрический заряд со стороны ЭП, имеет вполне определенное направление, приходится говорить о направленности свойств этого поля. При этом за направление ЭП в данной точке пространства принимают направление вектора напряженности поля. Более наглядное представление о направленности ЭП можно получить, если в пространстве наметить ряд линий так, чтобы векторы напряженности в той или иной точке поля были бы касательными к этим линиям (рис. 9.1).

Такие линии называют линиями вектора напряженности ЭП, или электрическими линиями. Электрические линии всегда направлены от положительно заряженных тел к отрицательно заряженным телам.

Совокупность электрических линий принято называть картиной ЭП (рис. 9.1). Если ЭП создается п зарядами (0„ / е [1,я]), то его напряженность равна геометрической сумме напряженностей от каждого из п зарядов в отдельности: т.е. при расчете ЭП применим

метод наложения.

Представим себе ЭП (рис. 9.2), в котором по некоторому пути от точки А до точки В под действием поля движется пробный точечный положительный заряд Q. Со стороны поля к заряду будет приложена сила/ Она направлена по касательной к линии движения и равна (9.2).

Работа на пути от точки А до точки В определится линейным интегралом

где dl — элемент длины пути интегрирования; заряд Q вынесен за знак интеграла, так как в процессе движения величина заряда не меняется.

Таким образом, работа по перемещению заряда равна произведению заряда Q на линейный интеграл от напряженности поля вдоль пути движения заряда:

Рис. 9.2. Перемещение точечного заряда в ЭП

Этот интеграл, определяющийся характеристиками поля по выбранному пути, получил название электрического напряжения между точками А и В.

Выражение (9.5) можно записать в векторной форме:

Напряжение U_AB характеризует собой энергетические возможности поля в данной области пространства. Электрическое напряжение является скалярной величиной и в общем случае может приобретать как положительные, так и отрицательные значения.

Единицей электрического напряжения является вольт (В). Если напряжение между двумя точками поля 1 В, то при перемещении заряда в 1 Кл из одной точки в другую будет совершена работа в 1 Дж.

Нетрудно показать, что электрическое напряжение между точками не зависит от пути его вычисления и определяется только положением начальной и конечной точек.

Для пояснения выберем две произвольные точки А и В в поле и рассмотрим два различных пути тип между ними. Очевидно, что оба эти пути составляют замкнутый контур АтВпА (рис. 9.3), для которого справедливо условие — линейный интеграл вектора напряженности в электростатическом поле по любому замкнутому контуру равен нулю:

Линейный же интеграл вектора напряженности по замкнутому контуру можно разбить на два интеграла по двум его участкам

Рис. 9.3. Пути перемещения заряда в ЭП

Изменяя направление интегрирования во втором слагаемом на обратное, т.е. вычисляя линейный интеграл по пути п от А к В, получим

так как перестановка пределов интегрирования приводит к изменению знака интеграла. Отсюда

т.е. оба интеграла и представляемые ими напряжения Uab между точками А и В, вычисленные по разным путям, равны друг другу. Это и является доказательством ранее высказанного тезиса.