Переходные процессы в цепи с последовательным соединением элементов R, L, С

Рассмотрим особенности переходного процесса в цепи R, L, С (рис. 6.5, а) с нулевыми начальными условиями при подключении ее к постоянному напряжению U.

Переходные процессы в последовательной цепи

Рис. 6.5. Переходные процессы в последовательной цепи

Определим ток переходного процесса, придерживаясь указанного выше алгоритма.

1. В соответствии с исходными данными начальные условия являются нулевыми:

2. Выполним коммутацию и составим уравнение по второму закону Кирхгофа:

3. Преобразуем уравнение (6.14), используя известные соотношения:

Для того чтобы избавиться от интеграла, продифференцируем обе части уравнения (6.15) и после деления на L получим

Уравнение (6.16) — дифференциальное, однородное уравнение второго порядка. Поэтому оно содержит только одну свободную составляющую. Принужденная составляющая inp = 0. Это следует также из того, что ток установившегося режима после коммутации должен быть равен нулю, так как сопротивление емкости постоянному току равно бесконечности.

4. Решением однородного уравнения (искомый ток /') будет функция, состоящая из суммы двух экспонент:

5. Составляем характеристическое уравнение корни которого ), И А2 рЭВНЫ

где 5 = -R/2L, a>0 = l/LC.

6. Определим постоянные интегрирования А и Л2, входящие в уравнение (6.17). Для этого надо составить два уравнения, в которых неизвестными должны быть А и А2.

Первое уравнение получим из нулевых начальных условий и закона коммутации, учитывая при этом, что iL = /'

Подставив t = 0 в (6.17) с учетом (6.20), получим первое уравнение

Второе уравнение получим, если продифференцируем (6.17) и примем в нем / = 0

Выражение для можно получить из исходного дифференциального уравнения (6.15)

так как

Второе уравнение для определения А, и А2 примет вид:

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными А и А2

Решение этой системы дает

7. Искомый ток переходного процесса с учетом (6.25) будет равен:

Переходный процесс зависит от корней А.1 и к2 характеристического уравнения (6.18). Рассмотрим два случая:

а) Корни вещественные, отрицательные и разные по величине

Это возможно только при условии

Такой режим называется апериодическим. При этом ток приближается к установившемуся значению, меняя свою величину, но не меняя свое направление (рис. 6.5, б).

б) Корни к, Х.2 комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью. Это возможно при условии

Такой режим называется периодическим, или колебательным. Здесь имеет место многократный обмен энергией между индуктивностью и емкостью (рис. 6.5, в). Число таких обменов или колебаний в единицу времени называется собственной частотой колебаний, которая не зависит от входного напряжения. При каждом колебании часть энергии будет расходоваться, выделяясь в виде тепла в активном сопротивление R. Поэтому процесс является затухающим.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >