Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии

Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом магнитной энергии в индуктивности и ее рассеиванием в виде тепла на активных сопротивлениях. Отметим, что цепи, содержащие всего один участок с накопителем магнитной энергии (L), описываются дифференциальным уравнением первого порядка, т.е. такие уравнения содержат только одну производную di_L/dt. При расчете установившегося режима в случае постоянных внешних ЭДС необходимо помнить, что сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю.

Ниже рассмотрим пример. Расчет его выполнен по алгоритму, который рекомендуется к применению для других подобных задач.

Пример 6.1. Включение последовательной цепи R, L на постоянное напряжение.

Последовательная цепь R, L (рис. 6.2, a) R= 100 Ом и L = 2 Гн подключается к постоянному напряжению U = 100 В. Требуется определить ток и напряжение на индуктивности в переходном процессе и построить графики зависимостей /ДО, и ДО-

Схема до коммутации и после коммутации

Рис. 6.2. Схема до коммутации и после коммутации

Решение. 1. Определяем начальное условие: /Д-0) = 0, так как цепь до коммутации была отключена (принимаем, что это было достаточно длительное время).

2. Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 6.2, б) и на ней указываем направления токов и напряжений.

3. Для схемы (рис. 6.2, б) составляем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Подставляя уравнения элементов Ldi/dt и Ri в уравнение (6.7) и учитывая, что для последовательной цепи i = i_L, получим:

Уравнение (6.8) — линейное дифференциальное первого порядка.

4. Решение уравнения (искомый ток переходного процесса) ищем в виде

5. Определяем i_np, который представляет собой установившийся постоянный ток в цепи. Находим его по закону Ома, учитывая при этом, что индуктивное сопротивление при постоянном токе равно нулю:

6. Составляем однородное дифференциальное уравнение

решением которого будет функция i_ce = Ае^и.

7. Составляем характеристическое уравнение для определения 7.

корень, которого равен

Величина называется постоянной времени цепи

и имеет размерность времени.

8. Запишем решение (ток в переходном процессе)

9. Согласно первому закону коммутации и начальным условиям

10. Определим постоянную интегрирования А путем подстановки в уравнение (6.10) t = 0 и, учитывая условие п. 9, получим

Ток в переходном процессе

11. Напряжение на индуктивности можно определить по уравнению

Графики переходных процессов в соответствии с (6.11, 6.12) представлены на рис. 6.3. Постоянную времени т можно определить графически.

Рис. 6.3. Переходные процессы в последовательной цепи R, L

Для этого к любой точке функции i_L проводят касательную, тогда длина подкасательной на оси времени даст в том же масштабе, что и время, постоянную времени т. За длительность переходного процесса принимают время, равное 1 = (4н-5)т. За это время величина тока в переходном процессе будет отличаться от установившегося значения тока менее чем на 1%.

Пример 6.2. Расчет переходных процессов в цепях с одним накопителем энергии — емкостью.

Электромагнитные процессы при переходном процессе в таких цепях обусловлены запасом электрической энергии в емкости С и рассеиванием этой энергии в виде тепла на активных сопротивлениях цепи. При составлении дифференциального уравнения следует в качестве неизвестной функции выбрать напряжение и_с на емкости.

Следует отметить, что при расчете установившихся режимов, т.е. при определении начальных условий и принужденной составляющей, сопротивление емкости в цепях постоянного тока равно бесконечности.

Расчет выполним по тому же алгоритму, что и предыдущий пример.

Пример 6.3. Включение последовательной цепи R, С на постоянное напряжение. Цепь (рис. 6.4, а), состоящая из последовательно соединенных сопротивления R = 1000 Ом и емкости С = 200 мкФ, в некоторый момент времени подключается к постоянному напряжению U = 60 В. Требуется определить ток и напряжение емкости в переходном процессе и построить графики u_c{t), i(t).

Рис. 6.4. Переходные процессы в цепи с емкостью

Решение. 1. Определяем начальные условия. Начальное условие «с(^—0) ⁼ 0. ^{так как} депь до коммутации была отключена (полагаем достаточно длительное время).

2. Изображаем электрическую цепь после коммутации (рис. 6.4, б), указываем направления тока и напряжений и для нее составляем уравнение по второму закону Кирхгофа

3. Преобразуем уравнение п. 2 в дифференциальное. Для этого, подставив вместо тока / известное уравнение i = Cdu_c/dt, получим:

4. Решение уравнения (искомое напряжение на емкости) ищем в виде:

5. Определяем и_Спр. Так как в цепи постоянного тока в установившемся режиме сопротивление емкости равно бесконечности (при этом Ri = 0), то все напряжение будет приложено к емкости. Поэтому