ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ВЕРОЯТНОСТНОСТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДАХ

Наиболее часто используют три семейства дискретных распределений — биномиальных, гипергеометрических и Пуассона, а также некоторые другие семейства — геометрических, отрицательных биномиальных, мультиномиальных, отрицательных гипергеометрических распределений и т.д.

ПОДРОБНЕЕ О БИНОМИАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ

Биномиальное распределение имеет место при независимых испытаниях, в каждом из которых с вероятностью р появляется событие А. Если общее число испытаний п задано, то число испытаний У, в которых появилось событие Л, имеет биномиальное распределение. Для биномиального распределения вероятность принятия случайной величиной У значения у определяется формулой

где — число сочетаний из п элементов по у,

известное из комбинаторики.

Для всех у, кроме 0, 1,2, п, имеем P(Y = у) = 0. Биномиальное распределение при фиксированном объеме выборки п задается параметром р, т.е. биномиальные распределения образуют однопараметрическое семейство. Они применяются при анализе данных выборочных исследований [12], например при изучении предпочтений потребителей, выборочном контроле качества продукции по планам одноступенчатого контроля, при испытаниях совокупностей индивидуумов в демографии, социологии, медицине, биологии и др.

Если Y и Yi — независимые биномиальные случайные величины с одним и тем же параметром ро, определенные по выборкам объемов «1 и П2 соответственно, то Y + Y2 — биномиальная случайная величина, имеющая распределение (19) с р = ро и п = п + П2. Это замечание расширяет область применимости биномиального распределения, позволяя объединять результаты нескольких групп испытаний, когда есть основания полагать, что всем этим группам соответствует один и тот же параметр.

Характеристики биномиального распределения вычислены ранее:

В главе 2 «Основы теории вероятностей» для биномиальной случайной величины доказан закон больших чисел:

для любого е > 0. С помощью ЦПТ закон больших чисел можно уточнить, указав, на сколько Y/n отличается от р.

Теорема МуавраЛапласа. Для любых чисел а и Ь, а < Ь, имеем

где Ф(х) — функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.

Для доказательства достаточно воспользоваться представлением У в виде суммы независимых случайных величин, соответствующих исходам отдельных испытаний, формулами для М(У) и D(Y) и центральной предельной теоремой.

Эта теорема для случая р = V2 получена английским математиком А. Муавром в 1730 г. В приведенной выше формулировке она доказана в 1810 г. французским математиком Пьером Симоном Лапласом (1749—1827).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >