МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

При обработке данных используют такие характеристики случайной величины X, как моменты порядка q, т.е. математические ожидания случайной величины Хч, q = 1, 2... . Так, само математическое ожидание — это момент порядка 1. Для дискретной случайной величины момент порядка q может быть рассчитан как

Для непрерывной случайной величины

Моменты порядка q называют также начальными моментами порядка q в отличие от родственных характеристик — центральных моментов порядка q, задаваемых формулой

Так, дисперсия — это центральный момент порядка 2.

СТАНДАРТНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

В вероятностно-статистических методах часто идет речь о нормальном распределении. Иногда его пытаются использовать для моделирования распределения исходных данных (эти попытки не всегда обоснованные — см. ниже). Более существенно, что многие методы обработки данных основаны на том, что расчетные величины имеют распределения, близкие к нормальному.

Пусть Х, Хъ-.., Х,„ ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями М{Х,) = т и дисперсиями D{X,) = о2, / = 1, 2,..., п,... . Как следует из результатов предыдущей главы,

Рассмотрим приведенную случайную величину U„ для суммы Xi + Х2 + ... + Хп, а именно

Как следует из формул (7), M(U„) = 0, D(Un) = 1. Центральная предельная теорема (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть Xh Хъ-.., Х„, ... — независимые одинаково распределенные случайные величины с математическими ожиданиями М{Х,) = т и дисперсиями D(X,) = a2, i = 1, 2, . Тогда для любого х существует предел

где Ф(х) — функция стандартного нормального распределения.

Подробнее о функции Ф(х) — ниже (читается «фи от икс», поскольку Ф — греческая прописная буква «фи»).

Центральная предельная теорема (ЦПТ) носит свое название по той причине, что она — центральный, наиболее часто применяющийся математический результат теории вероятностей и математической статистики. История ЦПТ занимает около 200 лет — с 1730 г., когда английский математик А. Муавр (1667—1754) опубликовал первый результат, относящийся к ЦПТ (см. ниже о теореме Муавра—Лапласа), до 1920— 1930 гг., когда финн Дж.У. Линдеберг, француз Поль Леви (1886—1971), югослав В. Феллер (1906—1970), русский А.Я. Хинчин (1894—1959) и другие ученые получили не- об-ходимые и достаточные условия справедливости классической ЦПТ.

Развитие рассматриваемой тематики на этом отнюдь не прекратилось — изучали случайные величины, не имеющие дисперсии, т.е. те, для которых

(академик Б.В. Гнеденко и др.), ситуацию, когда суммируются случайные величины (точнее, случайные элементы) более сложной природы, чем числа (академики Ю.В. Прохоров, А.А. Боровков и их последователи).

Функция распределения Ф(х) задается равенством

где <р(у) — плотность стандартного нормального распределения, имеющая довольно сложное выражение:

Здесь л = 3,1415925... — известное в геометрии число, равное отношению длины окружности к диаметру, е = = 2,718281828... — основание натуральных логарифмов (для запоминания этого числа обратите внимание, что 1828 — год рождения писателя Л.Н. Толстого). Как известно из математического анализа,

При обработке результатов наблюдений функцию нормального распределения в настоящее время уже не вычисляют по приведенным формулам, а находят с помощью специальных таблиц или компьютерных программ. Лучшие на русском языке «Таблицы математической статистики» составлены членами- корреспондснтами АН СССР Л.Н. Болылевым и Н.В. Смирновым [1].

Вид плотности стандартного нормального распределения <р(у) вытекает из математической теории, которую не имеем возможности здесь рассматривать, равно как и доказательство

цпт.

Для иллюстрации приводим небольшие таблицы функции распределения Ф(х) (табл. 4.1) и ее квантилей (табл. 4.2). Функция Ф(х) симметрична относительно 0, что отражается в табл. 4.1—4.2.

Таблица 4.1

Функция стандартного нормального распределения

X

Ф(х)

X

Ф(х)

X

Ф(х)

-5,0

0,00000029

-1,0

0,158655

2,0

0,9772499

-4,0

0,00003167

-0,5

0,308538

2,5

0,99379033

-3,0

0,00134990

0,0

0,500000

3,0

0,99865010

-2,5

0,00620967

0,5

0,691462

4,0

0,99996833

-2,0

0,0227501

1,0

0,841345

5,0

0,99999971

-1,5

0,0668072

1,5

0,9331928

Если случайная величина X имеет функцию распределения Ф(х), то М(Х) = О, D(X) = 1. Это утверждение доказывается в теории вероятностей, исходя из вида плотности вероятностей ф(у)- Оно согласуется с аналогичным утверждением для характеристик приведенной случайной величины ?/,„ что вполне естественно, поскольку ЦПТ утверждает, что при безграничном возрастании числа слагаемых функция распределения Un стремится к функции стандартного нормального распределения Ф(х), причем этот предельный переход справедлив для любого числа х.

Таблица 4.2

Квантили стандартного нормального распределения

Р

Квантиль порядка р

Р

Квантиль порядка р

0,01

-2,326348

0,60

0,253347

0,025

-1,959964

0,70

0,524401

0,05

-1,644854

0,80

0,841621

0,10

-1,281552

0,90

1,281552

0,30

-0,524401

0,95

1,644854

0,40

-0,253347

0,975

1,959964

0,50

0,000000

0,99

2,326348

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >