ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗБРОСА

От характеристик положения — математического ожидания, медианы, моды — перейдем к характеристикам разброса случайной величины X. дисперсии D{X) = а2, среднему квадратическому отклонению а и коэффициенту вариации v. Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

78

Среднее квадратическое отклонение — это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации — это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации — применяется при М(Х) > О — измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение — в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины X найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где с = ф — аУ2.

Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно а коэффициент вариации таков:

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

По каждой случайной величине X определяют еще три величины — центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y — это разность между данной случайной величиной X и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = X - М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия — дисперсии данной случайной величины:

Функция распределения Fy(x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x) исходной случайной величины X соотношением:

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

Нормированная случайная величина V — это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратическому отклонению а, т.е. V = XIо. Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

где v — коэффициент вариации исходной случайной величины X. Для функции распределения Fv(x) и плотности fv(x) нормированной случайной величины Vимеем:

где F{x) — функция распределения исходной случайной величины X; fix) — ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U — это центрированная и нормированная случайная величина:

Для приведенной случайной величины

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства M{U) = 0, D(lf) = 1 позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если У = аХ + Ь, где а и b — некоторые числа, то

Пример 7. Если а = 1/G, b = -M(X)/G, то У — приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной X можно связать множество случайных величин У, заданных формулой У = аХ + b при различных а > 0 и Ь. Это множество называют масштабно- сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной X. Функции распределения Fy(x) составляют масштабно-сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо У = аХ + b часто используют запись

где

Число с называют параметром сдвига, а число d — параметром масштаба. Формула (9) показывает, что X — результат измерения некоторой величины — переходит в К — результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение X называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла—Гнеденко, стандартное гамма-

распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины X рассматривают Y = IgX, где IgX — десятичный логарифм числа X. Цепочка равенств

связывает функции распределения X и Y.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >