Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Философия arrow Практическая философия
Посмотреть оригинал

Проблема соотношения теоретической и прикладной математики

В каком отношении находятся сегодня теоретическая и прикладная математика, является ли граница между ними четкой или достаточно условной? Мы обсудим этот вопрос на примере важной для многих разделов прикладной математики проблемы точности исходных данных, поскольку для многих прикладных задач первостепенны алгоритмы приближенного решения, а их точность существенно зависит от точности исходных данных. В задачах классической механики очень важное значение имело такое казавшееся естественным свойство ее математического аппарата (обыкновенных дифференциальных уравнений), как непрерывная зависимость от исходных данных. Это означало, что при достаточно малом изменении этих данных будущее поведение системы тоже изменится незначительно, т. е. небольшая ошибка в исходных данных не приведет к большой ошибке в конечном результате. Для описания поведения сплошных сред (гидро- и аэродинамика, теория упругости, уравнения Максвелла) стали широко применяться уравнения в частных производных, исходные данные для решения которых включали, помимо начальных, так называемые граничные условия, но в смысле непрерывной зависимости решения от исходных данных они считались аналогичными обыкновенным дифференциальным уравнениям. Однако в 1923 г. Ж. Адамар обнаружил, что краевая задача для гравитационного потенциала этим свойством не обладает. Определив подобные задачи как «некорректно поставленные», он счел их не имеющими физической интерпретации и потому практически неинтересными. Позиция французского математика была воспроизведена в известной монографии Д. Гильберта и Р. Куранта «Методы математической физики». Отказ от физической интерпретации некорректных задач оказался ошибочным, потребности практики (например, геологоразведки) заставили математиков вновь к ним обратиться. Предложенный в 1963 г. академиком А. Н. Тихоновым общий метод решения таких задач (метод регуляризации), казалось, мог служить основой своеобразного вычислительного оптимизма.

Однако вскоре выяснилось, что вопрос о точном описании класса регуляризуемых функций (и поэтому о границах возможностей приближенного вычисления) связан с одной из абстрактных ветвей современной математики — дескриптивной теорией функций, созданной в начале XX в. благодаря работам французских математиков Р. Бэра, А. Лебега, Э. Бореля и основателя московской математической школы Н. Н. Лузина. Были разработаны две основные классификации разрывных функций (Бэра и Лебега). Вопрос о соотношении этих двух классификаций был актуальным не только в общетеоретическом плане, но и при решении многих конкретных задач. Было доказано, что для числовых пространств они совпадают. Для более общих типов математических пространств вопрос оставался открытым. Дальнейшие исследования показали необходимость учета аксиоматики теории множеств. Была установлена недоказуемость в общем случае совпадения классификаций по Бэру и по Лебегу (в системе аксиом Цермело — Френкеля с аксиомой выбора). Продолжал оставаться открытым вопрос о возможности доказательства несовпадения указанных классификаций. Трудности, с которыми сталкиваются попытки доказательства этого утверждения, повышают вероятность того, что решением проблемы окажется в конечном итоге признание его имеющим статус независимой аксиомы (по аналогии с известной континуум-гипотезой в аксиоматической теории множеств).

Изложенное выше позволяет сформулировать следующий вывод. Математическое знание обладает глубоким внутренним единством, проявляющимся, в частности, во взаимосвязи и взаимозависимости областей математики, казалось бы, далеко отстоящих друг от друга. Так, естественная проблема вычислительной математики (обоснование возможности построения эффективного сходящегося алгоритма приближенного решения) потребовала для своей точной формулировки применения одной из абстрактных областей современной математики, а ее окончательное решение оказалось связанным с основаниями математики. Это свидетельствует в пользу диалектического характера развития математики и об известной условности и относительности деления ее на теоретическую и прикладную.

Контрольные вопросы

1. Сущность математического предвосхищения и его возможные объяснения. 2. Причины эффективности математического языка. 3. Почему математическое моделирование не всегда эффективно? 4. В чем смысл теоремы о приближенной вычислимости? 5. Соотношение теоретической и прикладной математики. 6. Прикладная математика и основания математики.

Темы рефератов, эссе

Математика как эффективный инструмент физики. 2. Возможности математизации социальных и гуманитарных наук. 3. Критерии адекватности математических моделей.

Литература

  • 1. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990.
  • 2. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике. М.: Наука, 1979.
  • 3. Винокуров В. А., Зуев К. А. Вычислимое и невычислимое в вычислительной математике // Вопросы философии. 1982. № 5.
 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы