Частотный спектр непериодического сигнала

Рядом Фурье вида (3.3) или (3.12) могут быть представлены только периодические сигналы. Но строго периодических сигналов не бывает, так как сигналы имеют начало и конец, изменяют свою форму в связи с модуляцией и действием помех. Всякий непериодический сигнал (неповторяющийся, однократный) можно рассматривать как периодический, период которого равен оо, т.е. Т0 —> оо. Непериодический сигнал показан на рис. 3.4.

Непериодический сигнал

Рис. 3.4. Непериодический сигнал

При увеличении периода Т0 интервалы между частотами гармонических составляющих в спектре сигнала и амплитуды спектральных составляющих уменьшаются и в пределе при Т0 -> оо становятся бесконечно малыми величинами (3.2). При этом ряд Фурье, отображающий спектральное разложение периодического сигнала, преобразуется в интегра.1 Фурье, отображающий спектральное разложение непериодического сигнала.

Рассмотрим, как произойдут эти изменения. Для этого от выражения (3.13) возьмем предел при Т0 -> оо и учтем, что дискретные значе- . к2п

ния частот к(?)0 =- превращаются в текущее значение частоты

Т0

ксоо -» со, а интервал между дискретными частотами становится бесконечно малым: Доз = (к + 1)оо0 - ксо0 = ю0 -> dсо. Тогда получим:

Функция Ф(/'со) выражает спектральную плотность комплексной амплитуды. Подставим (3.14) в (3.12) и возьмем предел при Т0 —> оо. Тогда сумма превратится в интеграл:

В результате получается прямое и обратное преобразования Фурье. для вычисления спектральной плотности комплексной амплитуды сигнала

и для восстановления исходного сигнала по его спектру

Представление непериодической функции интегралом Фурье возможно при выполнении следующих условий:

  • • функция 5(7) удовлетворяет условиям Дирихле;
  • • функция абсолютно интегрируема.

Рассмотрим три примера непериодических сигналов: прямоугольного импульса, 5-функции и отрезка синусоиды.

1. Прямоугольный импульс имеет аналитическое выражение

Временное представление прямоугольного импульса приведено рис. 3.5.

Рис. 3.5. Временное представление прямоугольного импульса

Для определения спектральной плотности амплитуд прямоугольного импульса воспользуемся интегралом Фурье (3.15) и формулой Эйлера (3.6):

Из (3.16) следует, что спектральная плотность амплитуды прямоугольного импульса описывается функцией вида SmX . Из математики

х

известно, что lim-= 1. Определим ширину частотного спектра

*-»о х

прямоугольного импульса Д(опр (рис. 3.6), для чего найдем значения частот, в которых наблюдается первый ноль, т.е. найдем корни уравнения |Ф (jto) | = 0. Выражение (3.16) обращается в ноль при значениях

(?>1 2т

аргумента синуса, кратных л: ' = пп при п = ±1. Тогда

Из (3.17) следует, что частотный спектр прямоугольного импульса тем шире, чем короче его длительность. В этом частном случае проявляется фундаментальное свойство преобразования Фурье: длительность сигнала и ширина его частотного спектра связаны обратно пропорциональной зависимостью.

Рис. 3.6. Частотный спектр прямоугольного импульса До>пр 2. 5-функция — это математическая (абстрактная) модель сигнала.

, Гео При / = 0

5-функция имеет аналитическое выражение 6(/) = <

ш [0 при / * 0

При этом | 5(t)dt = 1.

—оо

Временное представление б-функции приведено на рис. 3.7.

Временное Рис. 3.8. Частотный спектр

Рис. 3.7. Временное Рис. 3.8. Частотный спектр

представление 6-функции 6-функции: Ф (/to) = 1

Частотный спектр S-функции (рис. 3.8) — сплошной, бесконечно широкий, с постоянной спектральной плотностью.

3. Отрезок синусоиды имеет аналитическое выражение

где л — число периодов.

Амплитудный спектр отрезка синусоиды выражается как Ф(/'со) = (- l)"sin пк—.

COq - со со0

Временное представление отрезка синусоиды приведено на рис. 3.9.

Временное представление Рис. 3.10. Частотный спектр

Рис. 3.9. Временное представление Рис. 3.10. Частотный спектр

отрезка синусоиды отрезка синусоиды

Частотный спектр отрезка синусоиды показан на рис. 3.10.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >