Модели квантовых наносистем с приближенными потенциалами

Примеры точных решений уравнения Шредингера для модельных потенциалов и параметры квантовых наноструктур

Поведение частиц в микромире описывается волновой функцией Ф(г, t), которая носит вероятностный характер даже для одной частицы. Величина |Ф|2 = Ф*Ф играет роль функции распределения так, что функция |Ф|2d3x дает вероятность обнаружить частицу в объеме d3x. В этом смысле волновая функция должна являться нормированной

Квантовая механика позволяет определять лишь средние значения физических величин независимо от того, имеется много частиц или одна частица. Вычисление средних производится как в статистике:

Например, среднее значение координаты частицы запишется следующим образом:

при этом (Ф*|х|Ф) будет координатой центра тяжести волнового пакета, соответствующего функции Ф.

Перейдем к выводу волнового уравнения. Строго логически его нельзя получить, и формальные шаги, ведущие к нему, являются лишь остроумными догадками.

Начнем с движения свободной частицы, для описания которой вводится волновая функция

где у и к обозначают частоту и волновое число, которые, согласно де-Бройлю, связаны с энергией и импульсом частицы уравнениями:

Подставив в волновую функцию Е и р вместо v и к, получим

Взяв частные производные по х и t, находим, что

Уравнения можно интерпретировать также следующим образом. Когда волновая функция Ф известна, соответствующий импульс или его ж-компоненту рх получаем, беря частную производную волновой функции по х из (3.8). Как принято говорить, ж-компоненте импульса отвечает дифференциальный оператор

Аналогичное верно и для у- и ^-компонент. Соответственно оператор, отвечающий энергии

Физические величины энергии и импульса являются собственными значениями этих операторов.

Формализм Шредингера базируется на следующем правиле.

Р2

Пусть задан гамильтониан Н(р,х) = ---1- U(х) — сумма кинетической и потенциальной энергии, тогда уравнение для энергии

определяет состояние системы. Запишем гамильтониан Н(р,х) как оператор, заменив везде р на ——. Оператор, соответствующий членам с р2, получается повторением дифференцирования, а именно

Оператором энергии Н = (--1- U(хм нужно действовать на

2т /

волновую функцию Ф. Вместо уравнения для энергии получаем временное дифференциальное уравнение Шредингера

где кинетической энергии в трехмерном случае соответствует оператор

Поиск решения уравнения Шредингера (3.12) в виде разделенных переменных

приводит к стационарному уравнению

где Ф — действительная функция; U(г) — заданная функция; Е — параметр.

Граничные и дополнительные условия следуют из условия нормировки (3.1). Из условий сходимости несобственного интеграла (3.1) следует, что:

а) вблизи сингулярной точки U(г) функция ф возрастает мед-

_ з

леннее, чем г г;

  • 3
  • б) на бесконечности ф стремится к нулю быстрее, чем г~2.

Исключения из правила б) существуют. Более подробно

о свойствах решений уравнения Шредингера и их квантовомеханическом смысле можно прочесть в [9]. Для стационарного уравнения Шредингера ставится задача на собственные значения: нужно найти те значения параметра Е, при которых дифференциальное уравнение (3.15) обладает нетривиальными решениями, однозначными и конечными во всей области изменения переменных.

Если эта задача имеет с точностью до множителя только одно решение (собственную функцию), то собственное значение называют простым, или невырожденным. Если существует несколько различных решений, соответствующих одному собственному значению, то такое собственное значение называют вырожденным. Возможные значения энергии (собственные значения задачи) образуют энергетический спектр. Если движение частицы неограниченно в пространстве, то энергетический спектр является непрерывным; если ограниченно, то дискретным.

Рассмотрим несколько известных точных решений задачи на собственные значения для уравнения Шредингера для модельных потенциалов.

Свободная частица

В этом случае [7 = 0. При любом Е > 0 задача имеет конечные во всем пространстве решения — плоские волны. Для свободной частицы уравнение Шредингера (3.15) имеет вид:

Это уравнение имеет конечные во всем пространстве решения при любом положительном значении энергии, включая нуль. В одномерном случае ищем решение в виде:

Подставляя (3.17) в уравнение (3.16), получаем дисперсионное соотношение — связь волнового числа и энергии:

Эта связь, выраженная через частоту и волновое число, имеет вид:

В трехмерном случае в качестве этих решений можно взять общие собственные функции операторов трех компонент импульса. Полные волновые функции тогда будут иметь вид:

Каждая такая функция описывает состояние, в котором частица обладает определенными энергией и импульсом р. Это есть плоская волна, распростаняющаяся в направлении р и обладающая частотой E/h и длиной волны 2nh/p. Последнюю называют де-бройлевской длиной волны частицы. Энергетический спектр свободно движущейся частицы оказывается непрерывным, простираясь от нуля до бесконечности. Каждое из этих собственных значений (за исключением только значения Е = 0) вырождено, причем вырождение бесконечной кратности. Действительно, каждому отличному от нуля значению Е соответствует бесконечное множество собственных функций, отличающихся направлением вектора р при одинаковой его абсолютной величине.

Потенциальные ямы. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

В этом случае заданный потенциал имеет вид

За пределы такой ямы частица не может попасть. Поэтому постановка задачи формулируется следующим образом.

Найти такие значения Е. при которых уравнение

имеет нетривиальные решения, удовлетворяющие граничным условиям:

В области решения U = 0 ищем решение в виде (3.17), причем получаем такое же соотношение между волновым вектором и энергией, однако не все значения энергии допустимы в силу граничных условий. Учитывая граничные условия, получаем дискретный спектр собственных значений. Эта задача совпадает с задачей о колебании струны на отрезке. Поэтому сразу запишем собственные функции

и собственные значения

Расстояние между энергетическими уровнями:

Если взять массу молекулы т ГЧУ 1()-23 г и I = 10 см (газ в сосуде), то получим АЕп ~ 10-32 эрг, что есть почти сплошной спектр и квантовые эффекты малы. Если взять электрон в металле с эффективной массой т 10 28 г, / = 5 нм, то Ei ~ 0,2 эВ. Эта величина и определяет масштаб электрических явлений в квантовых структурах.

Сравним некоторые характерные параметры. Напомним, что 1 эВ равен энергии, которую приобретает электрон при ускорении в электрическом поле с разностью потенциалов в 1 В, т.е. 1 эВ = 1,6 • 1СГ19 Дж = 11605 К. Энергия ионизации атома водорода равна 13,6 эВ. Тепловая энергия поступательного движения одной молекулы при комнатной температуре равна 0,025 эВ, а электрон в квантовой точке при 1 = 5 нм имеет на первом уровне Е = 0,2 эВ.

Квантовые эффекты в данном случае проявляются в наличии дискретных уровней энергии и возможности управления ими. Квантовые точки — это фрагменты полупроводника, ограниченные по всем трем измерениям, способные удерживать электрон. В одной квантовой точке содержится много атомов и размер точки должен быть нанометровый, чтобы проявлялись квантовые эффекты. Такую точку называют искусственным атомом из-за возможности регулировки уровнями энергии за счет ширины и формы ямы.

Размер ямы I определяет локализацию собственных функций. Важным при моделировании нанотехнологий является вычисление зависимости спектра от размера и формы квантовой точки. В следующем подразделе рассмотрим математические постановки задач, которые формулируются при моделировании квантовых точек.

Осциллятор

В этом случае потенциал определяется зависимостью

Это пример ямы параболической формы с неограниченными по х размерами. Этот пример важен для оценки колебаний молекул. Уравнение Шредингера приобретает вид:

Собственные функции находят в виде степенного ряда и выражаются через функции Чебышева—Эрмита. Спектр дискретный:

В отличие от предыдущего примера зависимость значений энергии от п является линейной и Еп расположены через одинаковые промежутки. Здесь при п = 0 существует собственное значение с ненулевой энергией, называемой энергией нулевых колебаний:

Прохождение частицы через потенциальный барьер. Туннелирование

В этом случае потенциал имеет вид:

Обозначим области до барьера, в барьере и после барьера соответственно I, II, III. В области I и III (U = 0)

и в области II (U = Uo)

В каждой из областей получим решение в виде

Подстановка (3.32) в уравнение (3.30) приводит к дисперсионному уравнению:

которое решаем:

Знак “плюс” соответствует волне, идущей слева направо, а знак “минус” — волне, идущей справа налево. Таким образом, приходим к решениям уравнений в каждой из областей:

Подстановка (3.32) в уравнение (3.31), справедливое внутри барьера, приводит к характеристическому уравнению для к':

и его решению:

Таким образом, в области II решение имеет вид суммы затухающей и возрастающей экспонент:

где 0 = ^ч/2ггг(С/0 - Е).

Учтем граничные условия. В области III волна идет слева направо и поэтому граничное условие излучения [14] при х = оо дает 5jjj = 0 в фщ. Условия сшивки на границах барьера приводят к соотношению между коэффициентами

Получим четыре уравнения для пяти неизвестных, один коэффициент произвольный в силу однородности уравнения. Положим А = 1. Условия сшивки имеют вид:

Отсюда получим следущую систему уравнений для коэффициентов:

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

есть коэффициент отражения и определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера.

Отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны

определяет вероятность прохождения частицы через барьер (или коэффициент прозрачности). Разрешая систему уравнений для коэффициентов, найдем Ащ:

Отсюда коэффициент прозрачности равен:

При |3a >> l,s/i(|3a) ~ —е^“ выражение (3.51) упрощается:

Вероятность прохождения барьера сильно повышается с уменьшением ширины барьера а и уменьшением {7о — Е.

Экспоненциальная зависимость увеличения вероятности туннелирования с уменьшением ширины барьера использована при создании сканирующего туннельного микроскопа (STM), где атомно-острая игла размещается на нанометровом расстоянии от поверхности проводника, что значительно увеличивает ток туннелирования через барьер игла—проводник. В этом случае расстояние от иглы до образца играет роль ширины барьера и a = 0,5 нм и при высоте барьера С/о = 4 эВ создается заметный поток туннелирующих электронов от образца к игле j ~ 10 пА. К этому примеру вернемся при обсуждении теории СТМ.

Электрон в периодическом силовом поле. Кристалл

Рассмотрим задачу для уравнения Шредингера с периодическим потенциалом:

с условиями периодичности решетки:

Блох доказал, что решение уравнения Шредингера с периодическим потенциалом имеет вид

где и к имеет период потенциала — решетки. Общий случай сложен и к нему вернемся позднее.

Рассмотрим модель Кронига — Пенни [13], допускающую аналитическое решение. В этой модели периодическое поле аппроксимируется потенциалом типа зубчатой стенки: за прямоугольной ямой с шириной а следует барьер с шириной Ь и так по всей оси х.

На рисунке 3.1 изображен потенциал ядер в кристалле и аппроксимирующий потенциал в модели Кронига — Пенни.

Решение уравнения Шредингера для n-го участка имеет вид: для потенциальной ямы

для потенциального барьера

где

координата хп отсчитывается от начала n-го участка п-й ямы.

Далее сошьем решения на границах яма—барьер и получим уравнения для коэффициентов. Не будем приводить эти уравнения, а рассмотрим их решения в некотором приближении, допускающем ясную форму.

Потенциал ядер с кристаллической решетке и его модельная аппроксимация Кроиига — Пенни

Рис. 3.1. Потенциал ядер с кристаллической решетке и его модельная аппроксимация Кроиига — Пенни

Допустим, что ширина зубца b —> 0 и Uo —> оо, однако величина, характеризующая площадь зубца, остается постоянной:

Тогда волновая функция в кристалле будет иметь вид: где Un — функция, обладающая периодом кристалла,

Здесь к' рассчитывают из трансцендентного уравнения:

Это условие определяет возможные энергии электрона в кристаллической решетке.

Из формулы (3.G2) следует, что электрон сможет свободно двигаться в кристалле, если к' является вещественной величиной, те. когда правая часть меньше единицы.

В случае, когда Р = оо, получаем энергетический спектр изолированных атомов (для каждой ямы ) — они отделены непроницаемым барьером. При этом уровни энергии равны:

Если Р конечно, то разрешенные ка такие, при которых функция справа по модулю меньше единицы. Изолированные уровни N атомов при образовании кристаллической решетки расщепляются на N уровней, образуя так называемые зоны. К обсуждению более общей модели вернемся при рассмотрении вычислительной модели электронных состояний в твердом теле.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >