Примеры решения задач систем массового обслуживания

Некоторые обозначения, применяемые в теории массового обслуживания, для формул:

п - число каналов в СМО;

л - интенсивность входящего потока заявок П„х; v- интенсивность выходящего потока заявок П„ых м - интенсивность потока обслуживания Д,д; с - показатель нагрузки системы (трафик);

т - максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;

/' - число источников заявок;

рк - вероятность А-го состояния системы;

ра - вероятность простаивания всей системы, т. е. вероятность того, что все каналы свободны;

Ренет - вероятность принятия заявки в систему;

Роте - вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;

Роб - вероятность того, что заявка будет обслужена;

А - абсолютная пропускная способность системы;

Q - относительная пропускная способность системы;

N

04 - среднее число заявок в очереди;

N°6- среднее число заявок под обслуживанием;

N

- среднее число заявок в системе;

Т

среднее время ожидания заявки в очереди;

т

06 - среднее время обслуживания заявки, относящееся только к обслуженным заявкам;

Т

тег _ среднее время пребывания заявки в системе;

Т

- среднее время, ограничивающее ожидание заявки в очереди;

К - среднее число занятых каналов.

Абсолютная пропускная способность СМО А - среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.

Относительная пропускная способность СМО Q - отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок.

При решении задач массового обслуживания необходимо придерживаться нижеприведенной последовательности:

  • 1) определение типа СМО по табл. 4.20;
  • 2) выбор формул в соответствии с типом СМО;
  • 3) решение задачи;
  • 4) формулирование выводов по задаче.

Вариант выбирается следующим образом: две последние цифры зачетной книжки студента делятся с остатком на количество вариантов, представленных в таблицах. К остатку от деления прибавляется единица. Полученное число явится номером варианта для информации соответствующего вида.

Задача 1. На сортировочную станцию прибывают составы с интенсивностью 0,9 состава в час. Среднее время обслуживания одного состава 0,7 часа. Определить показатели эффективности работы сортировочной станции: интенсивность потока обслуживании, среднее число заявок в очереди, интенсивность нагрузки канала (трафик), вероятность, что канал свободен, вероятность, что канал занят, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 4.20).

Таблица 4.20

Исходные данные

Показатель

Вариант

!

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Л

0,5

0,8

0,4

0,6

0,7

0,5

0,7

0,6

0,8

0,4

0,3

0,5

0,6

0,9

0,2

0,2

0,4

0,8

0,3

0,5

Решение. Сортировочную станцию можно рассматривать как одноканальную СМО с неограниченным ожиданием (т. е. с очередью). Таким образом, параметры системы: число каналов п= 1, число мест в очереди /и=°о.

Интенсивность входящего потока .7=0,9 состава в час, среднее время обслуживания одной заявки Т6=0,7 ч, интенсивность потока обслуживании

Таким образом, нагрузка системы

Среднее число составов, ожидающих обслуживания.

Так как с<1, то очередь составов на сортировку нс может бесконечно возрастать, значит, предельные вероятности существуют. Вероятность того, что станция свободна р0, рассчитывается по следующей формуле:

тогда вероятность того, что станция занята рза„= 1-0,37=0,63.

Среднее число заявок (составов) в системе (на сортировочной станции) рассчитывается по следующей формуле:

Среднее время пребывания заявки (состава) в очереди (в ожидании сортировки):

Среднее время пребывания заявки (состава) в системе (на сортировочной горке под обслуживанием в ожидании обслуживания)

Вывод. Очевидно, что скорость обслуживания составов на сортировочной станции невысокая, так как время на ожидание обслуживания (1,19 ч) превышает время на обслуживание (0,7 ч). Для повышения эффективности работы сортировочной горки необходимо уменьшить время обслуживания одного состава или увеличить число сортировочных станций.

Задача 2. Интенсивность потока пассажиров в кассах железнодорожного вокзала составляет ,7=1,35 чел/мин. Средняя продолжительность обслуживания кассиром одного пассажира Т 6 =2 мин. Определить минимальное количество кассиров /(=/!„„„ при котором очередь нс будет расти до бесконечности, и соответствующие характеристики обслуживания при n=nmi (вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, вероятность очереди, среднее число заявок находящихся в очереди, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее число заявок, находящихся в системе, среднее время пребывания заявки в системе, доля занятых обслуживанием кассиров, абсолютная пропускную способность) (табл. 4.21).

Таблица 4.21.

Исходные данные

Показатель

Вариант

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Л

1,37

1,62

1,42

1,83

1,75

1,55

1,4

1.65

1,7

1,3

Т„

2,3

2

1

2,5

1.5

1,7

1,2

2,6

1

2,5

Указание. Прежде чем использовать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время Г—очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если <1, т. е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если с>1, очередь растет до бесконечности. Очередь нс будет возрастать до бесконечности при условии с/п <1, т. е. при п>с.

Решение. п>1, ш=°о, т. е. имеем многоканальную систему с неограниченной очередью. По условию л=1,35 (1/мин). Показатель нагрузки системы определяется по формуле (4.2): с=1,35-2=2,7.

Очередь нс будет возрастать до бесконечности при условии с/п<1, т. е. при «>с=2,7. Таким образом, минимальное количество контролсров-кассиров

U tain 3.

Найдем характеристики обслуживания СМО при nmi„=3.

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, определяется по формуле

т. е. в среднем 2,5 %

времени контролеры-кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, определяется по формуле

Среднее число покупателей, находящихся в очереди, определяется по формуле

Среднее время ожидания в очереди определяется по формуле

Среднее число покупателей в узле расчета определяется по формуле

Среднее время нахождения покупателей в узле расчета определяется по формуле

Среднее число контролсров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, определяется по формуле

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролсров-кассиров

Абсолютная пропускная способность узла расчета И=1,35 (1/мин), или 81 (1 /ч), т. е. 81 покупатель в час.

Вывод. Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех кассиров.

Задача 3. На грузовой станции имеется два выгрузочных фронта. Интенсивность подхода составов под выгрузку составляет л = 0,4 состава в сутки. Среднее время разгрузки одного состава - 2 суток. Приходящий поезд отправляется на другую станцию, если в очереди на разгрузку стоят более трех составов. Оценить эффективность работы выгрузочных фронтов грузовой станции: вероятность, что выгрузочные фронты свободны, вероятность, что состав останется без разгрузки, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность, среднее число поездов, ожидающих разгрузки, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 4.22).

Таблица 4.22

Исходные данные

Показатель

Варианты

!

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Л

0,5

0.9

0.5

0,3

0,6

0,8

0,9

0,4

0,6

0,5

2

1

1.5

1,4

1,3

1,2

1.5

2

1,9

1,4

Решение. По условию задачи п=2. т=3, т. е. грузовая станция представляет собой многоканальную систему с ограниченной очередью. Интенсивность потока обслуживании определяется по формуле (4.42):

Интенсивность нагрузки канала (трафик) определяется по формуле (4.43):

Вероятность того, что выгрузочный фронт свободен, определяется по формуле

Вероятность того, что состав будет отправлен на другую станцию, определяется по формуле

Относительная пропускная способность определяется по формуле

Абсолютная пропускная способность определяется по формуле

А=0,4 ? 0,991=0,396, т. е. в среднем в сутки разгружается 0,4 состава. Среднее число составов, ожидающих разгрузки, определяется по формуле

где

Среднее время ожидания разгрузки определяется по формуле (4.11):

Среднее число занятых фронтов (среднее число заявок под обслуживанием) определяется по формуле

Среднее число составов, находящихся у разгрузочного фронта определяется по формуле

Среднее время пребывания состава у разгрузочного фронта определяется по формуле (4.14):

Вывод. Среднее время пребывания состава в ожидании разгрузки на другой станции невелико. Это говорит о нормальной работе выгрузочного узла.

Задача 4. В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15, так и во вторую с 15 до 21, работают по одному мастеру. Провести анализ работы системы обслуживания. Определить ежедневный «чистый» доход каждого мастера, если он получает только 30 % от выручки (остальное уходит на оплату аренды помещения, налоги, амортизацию оборудования и пр.).

Решение. Интенсивность входящего потока л=2.4 клиента/ч, интенсивность потока обслуживании

Т мин об м клиента/ч.

Находим:

интенсивность нагрузки (канала) мастера с=л/м=0,8

долю времени (вероятность) простоя мастера

вероятность того, что мастер занят работой

среднее число клиентов в очереди клиента

среднее время ожидания в очереди минут

среднее время пребывания клиентов в парикмахерской

Система работает вполне удовлетворительно. Поскольку с<1, то режим работы системы устойчивый, 20 % рабочего времени мастер нс занят, а остальныс 80 % времени занят работой, длина очереди 3,2 клиента небольшая, а среднее время пребывания клиента в парикмахерской всего 21,34 мин.

Каждый мастер занимается обслуживанием клиентов в среднем ежедневно в течение 0,8*(15-9)=4,8 ч=288 мин.

За это время он обслужит 288 20=14,4 клиента, поэтому ежедневная выручка в среднем составит 14,4*60=864 руб. Ежедневный «чистый» доход каждого мастера в среднем составляет 864*0,3=259,2 руб.

Задача 5. (Задача с использованием СМО с неограниченным ожиданием) Сберкасса имеет трех контролсров-кассиров (3=;») для обслуживания вкладчиков. Поток вкладчиков поступает в сберкассу с интенсивностью л=30 чел./ч. Средняя продолжительность обслуживания контролсром-кассиром одного вкладчика /„,;с=3 мин

Определить характеристики сберкассы как объекта СМО.

Решение. Интенсивность потока обслуживания, интенсивность нагрузки.

1) Вероятность простоя контролсров-кассиров в течение рабочего дня:

2) Вероятность застать всех контролсров-кассиров занятыми:

3) Вероятность очереди:

4) Среднее число заявок в очереди:

5) Среднее время ожидания заявки в очереди:

6) Среднее время пребывания заявки в СМО:

7) Среднее число свободных каналов:

8) Коэффициент занятости каналов обслуживания:

9) Среднее число посетителей в сберкассе:

Ответ. Вероятность простоя контролсров-кассиров равна 21 % рабочего времени, вероятность посетителю оказаться в очереди составляет 11,8 %, среднее число посетителей в очереди 0,236 чел., среднее время ожидания посетителями обслуживания 0,472 мин.

 
Посмотреть оригинал