Действие магнитного поля на проводник с током и на движущийся заряд

К выводу закона Ампера в дифференциальной форме

Рис. 6.13. К выводу закона Ампера в дифференциальной форме

Сравнивая выражение закона Ампера (6.21) с формулой для поля, создаваемого бесконечным проводником (6.30), можно представить дело так, что ток /, (см. рис. 6.4) создает магнитное поле бь которое действует на проводник с током /2, тогда сила этого действия есть /12 = б,/2. Соответственно/2| = В21. Если проводник не прямолинейный, то для вычисления силы следует рассмотреть элемент проводника d/. Тогда , или в векторной форме:

Это дифференциальная форма закона Ампера. На рисунке 6.13 приведены: вектор В , характеризующий магнитное поле; элемент d/ длины проводника с током, ориентированный в направлении тока I (фрагмент d/ увеличен на рис. 6.14), и действующая на проводник сила dF (прямоугольники с точками обозначают прямые углы между векторами, лежащими вместе с d/ во взаимно перпендикулярных плоскостях). Так как дифференциальное соотношение (6.38) получено из закона Ампера, сила dFа соответственно называется силой Ампера.

Другим проявлением силы Ампера является действие магнитного поля на движущийся в нем заряд. Более того, с точки зрения электромагнитной динамики все макроскопические (так называемые пондеромоторные) силы, действующие в электромагнитном поле на тела, должны в конечном счете сводиться к силам, приложенным к электрическим зарядам, входящим в состав этих тел. Попробуем свести силу dFa, которая действует на весь проводник в целом, к силам, которые действуют на движущиеся в проводнике отдельные заряды. Выделим для этого внутри проводника с током, находящегося в магнитном поле В, элементарный цилиндр объемом dV = dIS такой, что его образующие параллельны направлению скорости и движения носителей заряда (на рис. 6.14 для определенности рассмотрения заряд q принят положительным). Согласно (6.38) сила dF к, действующая на этот цилиндр, определяется как 6Fa =/[d/i?] = jSid/B}. Вектор плотности тока j может быть представлен в виде (6.4). Имея в виду, что j сонаправлен спи соответственно с d/, силу dFa можно переписать в виде

где п — концентрация зарядов; dN — число зарядов q в элементе проводника сечением S и длиной d/.

К выводу выражения для силы Лоренца

Рис. 6.14. К выводу выражения для силы Лоренца

Силу, действующую на отдельную движущуюся в магнитном поле заряженную частицу, называют силой Лоренца. Ее значение получают, отнеся силу d FA к числу носителей тока, т.е.

Направление силы Лоренца зависит от знака движущегося заряда q, т.е. от знака перед векторным произведением в (6.40) и взаимного направления векторов о и В (направления вектора, представляющего векторное произведение [oi?]). Из выражения для силы видно, что Гл перпендикулярна скорости движения частицы (также и вектору В ). По этой причине при движении частицы в магнитном поле сила Лоренца не совершает работы. Это значит, что с помощью одной только силы Лоренца невозможно ускорить (или замедлить) движение частицы; нужно приложить электрическое поле, чтобы сделать это. Сила Лоренца может изменить только направление движения заряда. В частности, сила Лоренца используется в ускорителях для того, чтобы сделать движение заряженных частиц циклическим.

Сила Лоренца определяет траекторию движения заряженных частиц в магнитном поле. Мы знаем, что если такая частица влетает в магнитное поле в плоскости, перпендикулярной магнитной индукции В, на нее будет действовать сила Лоренца, направленная перпендикулярно векторам v и В. При отсутствии каких-либо других сил сила Лоренца определяет нормальное ускорение а„ и соответствующее движение заряда# по окружности радиусом Л (рис. 6.15). Запишем уравнение второго закона Ньютона для этого случая

где т — масса частицы с зарядом q.

Отсюда может быть определен радиус окружности такой траектории движения заряженной частицы

Движение заряда в магнитном поле в плоскости, перпендикулярной вектору индукции В

Рис. 6.15. Движение заряда в магнитном поле в плоскости, перпендикулярной вектору индукции В

где q/m — удельный заряд частицы.

Период обращения частицы по этой окружности

Кажется парадоксальным, что период обращения Т не зависит ни от скорости, ни от радиуса круговой траектории заряда. Это оказывается возможным, так как радиус и скорость входят в выражение для периода (6.42) в виде отношения — при изменении скорости движения заряда радиус его круговой траектории меняется так же, как и скорость, т.е. R ~ v.

Если скорость влетающей в поле заряженной частицы направлена под произвольным углом а # 0, л или ±л/2 к магнитной индукции В (рис. 6.16, где магнитная индукция В направлена вдоль оси Oz), то для объяснения характера движения заряда можно вектор скорости частицы разложить на две составляющие — перпендикулярную и параллельную вектору В соответственно. Перпендикулярная составляющая определяет круговое движение частицы (соответственно сказанному выше), а параллельная — обеспечивает равномерное движение вдоль оси z, так как сила Лоренца для этой компоненты движения равна нулю (векторное произведение в (6.40) для этой составляющей равно нулю, так как |[i>oi?]| = i;i?sina = 0 при a = 0 или л). В результате частица движется по винтовой линии (одновременное вращение и трансляционное движение вдоль оси z)- Шаг винта И (расстояние, которое за период Т проходит заряд, двигаясь с постоянной скоростью вдоль оси z) определяется как

Движение заряда (q > 0) в магнитном поле при произвольном направлении вектора v относительно поля В (при a = 0, я, ± п/2)

Рис. 6.16. Движение заряда (q > 0) в магнитном поле при произвольном направлении вектора v относительно поля В (при a = 0, я, ± п/2)

тогда как радиус окружности зависит от перпендикулярной к оси z составляющей скорости

Таким образом, влетающие в постоянное магнитное поле заряженные частицы «навиваются» на силовые линии этого поля.

Изложенные обстоятельства движения заряженных частиц в магнитном поле положены в основу конструкции масс-спектрометра — прибора, «сортирующего» ионы по величине их удельного заряда q/m.

Такая возможность является чрезвычайно эффективной при анализе и синтезе новых веществ.

Принципиальная схема масс-спектрометра приведена на рис. 6.17. В области И (ионизатор) находится анализируемое вещество, там же оно переводится в газообразную форму и ионизируется каким-либо способом (например, воздействием потока электронов), а затем попадает в область М. Между И и М создана ускоряющая разность потенциалов U, поэтому ионы исследуемого вещества до появления в области М разгоняются электрическим полем. При прохождении отверстия диафрагмы на входе в М все ионы обладают одинаковой энергией, но не скоростями. Чтобы выбрать из пучка ионы с одинаковыми скоростями, используют фильтр, в котором на ионы действуют две противонаправленные силы — кулоновская (/k = qE) и сила Лоренца (Fji = qvBi); при их равенстве (по абсолютной величине) фильтр пропускает только ионы со скоростью и = Е/В. Этот отфильтрованный пучок ионов попадает в камеру К, где на него действует перпендикулярное скорости и магнитное поле В2, и ионы начинают двигаться по окружностям, радиусы которых зависят от удельного заряда q/m (см. формулу (6.41)). Таким образом, в коллекторе (на фотопленке или специальном зарядочувствительном детекторе), расположенном в камере К, ионы с разными удельными зарядами q/m (при различном подборе U, Е или Вх), двигаясь в магнитном поле В2 по круговым траекториям с разными радиусами R, попадают в разные точки и С, показанные на рис. 6.17). На рисунке 6.18 приведен масс-спектр воздуха,

где по оси абсцисс отложены величины — массовое число, q

заряд иона), а по оси ординат — относительное число соответствующих ионов в объекте исследования.

Конструкция современного масс-спектрометра может существенно отличаться от приведенной упрощенной схемы, базируясь, однако, на изложенных выше физических принципах.

С

Принципиальная схема масс-спектрометра

Рис. 6.17. Принципиальная схема масс-спектрометра

Масс-спектр ионизированного воздуха

Рис. 6.18. Масс-спектр ионизированного воздуха. Каждый из пиков соответствует определенному иону. Числа над пиками указывают на масштабный коэффициент, принятый для отображения интенсивности соответствующего пика, под пиками отношение массового числа к заряду иона А/q

К разряду явлений, связанных с действием магнитного поля на проводники с током (гальваномагнитные явления), в которых определяющую роль играет сила Лоренца, относится эффект Холла. Эффектом Холла называется явление, сопровождающееся возникновением электрического поля в проводнике с током, помещенном в магнитное поле[1].

Классическая электронная теория позволяет объяснить возникновение холловской разности потенциалов.

Действительно, пусть через однородную пластину проводника или полупроводника вдоль оси х (от точки 1 к точке 2 на рис. 6.19) течет ток / (плотность тока j). Если эту пластину поместить в магнитное поле с магнитной индукцией В, направленное по оси z, то между гранями А и Б (также между точками контактов 3 и 4) появляется разность потенциалов Дф = UX- В самом деле, на электрон с зарядом q — е (отдельный заряд), движущийся со скоростью <и> (здесь мы имеем в виду среднюю дрейфовую скорость электронов в направлении, противоположном оси у, возникающую при наложении внешнего электрического поля, необходимого для протекания тока через образец), действует сила Лоренца:

где q — заряд электрона; В — индукция магнитного поля.

Схема, поясняющая эффект Холла

Рис. 6.19. Схема, поясняющая эффект Холла

В нашем случае взаимно перпендикулярного расположения векторов <и> и В эта сила направлена по оси х и по модулю равна

Если магнитное поле направлено вдоль оси z, то под влиянием силы Лоренца, действующей на отрицательные заряды в направлении оси х, электроны отклоняются к грани Б, заряжая ее отрицательно. На грани А накапливаются некомпенсированные положительные заряды. Это приводит к возникновению в образце электрического поля Е, направленного от А к Б, и к появлению между гранями А и Б (контактами 3 и 4) холловской разности потенциалов Ux

где d — размер пластины образца в направлении оси х.

Поле ? действует на электроны с силой F= qE, направленной против силы Лоренца. В установившемся состоянии кулоновская сила F уравновешивает силу Лоренца и дальнейшее накопление электрических зарядов на боковых гранях пластины прекращается. Из условия равновесия указанных сил qB = qE находим:

Замечая, что сила тока / через поперечное сечение S = hd образца

где h — толщина пластины образца в направлении оси z, и подставляя Е (6.48) и из (6.49) в (6.47), найдем:

Константа Rx называется постоянной Холла. Как видно из (6.50),

Эффект Холла наблюдается в любых проводящих материалах, в частности и для полупроводников, причем постоянная Rx Холла в зависимости от знака заряда q носителей тока может быть или положительной, или отрицательной величиной. В полупроводниках, когда вклад в проводимость обусловлен и электронами, и положительными зарядами — дырками (см. подраздел 10.2.3), выражение для постоянной Холла имеет более сложный (чем (6.51)) вид. Из определенной экспериментально постоянной Холла при известном заряде q носителей тока по формуле (6.51) можно рассчитать их концентрацию п. Когда электропроводность материала определяется зарядами обоих знаков, по знаку постоянной Холла можно определить, какие заряды вносят преобладающий вклад в проводимость проводника и сделать заключение о количестве примесей.

Эффект Холла оказывается одним из наиболее эффективных методов изучения энергетического спектра носителей заряда в металлах и полупроводниках, он используется в науке и технике для измерения магнитной индукции (см. формулу (6.50)), для умножения постоянных токов в аналоговых компьютерах, в измерительной технике (датчики Холла) и др.

Существуют и квантовые проявления эффекта Холла (дискретные значения холловского сопротивления), возникающие в сильных магнитных полях и при низких температурах, теорию которых мы здесь не рассматриваем.

  • [1] Эффект был обнаружен в 1879 г. американским физиком Э. Холлом и носит его имя.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >