Сложение волн

Принцип суперпозиции волн

Рассмотрим теперь ситуацию, когда имеется не один, а несколько источников волн (осцилляторов). Излучаемые ими волны в некоторой области пространства будут оказывать совокупное действие. Прежде чем начать анализ того, что может произойти в результате, остановимся сначала на очень важном физическом принципе, которым неоднократно будем пользоваться в нашем курсе, — принципе суперпозиции. Суть его проста.

Предположим, что имеется не один, а несколько источников возмущения (ими могут быть механические осцилляторы, электрические заряды, и др.). Что будет отмечать прибор, регистрирующий одновременно возмущения среды от всех источников? Если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга, то результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности независимо от наличия остальных — это и есть принцип суперпозиции, т.е. наложения. Этот принцип един для многих явлений, но его математическая запись может быть разной в зависимости от характера рассматриваемых явлений — векторного или скалярного.

Принцип суперпозиции волн выполняется не во всех случаях, а только в так называемых линейных средах. Среду, например, можно считать линейной, если ее частицы находятся под действием упругой (квазиупругой) возвращающей силы. Среды, в которых принцип суперпозиции не выполняется, называются нелинейными. Так, при распространении волн большой интенсивности линейная среда может становиться нелинейной. Возникают чрезвычайно интересные и технически важные явления. Это наблюдается при распространении в среде ультразвука большой мощности (в акустике) или лазерных лучей в кристаллах (в оптике). Научные и технические направления, занимающиеся изучением этих явлений, получили название нелинейной акустики и нелинейной оптики, соответственно.

Будем рассматривать только линейные эффекты. Применительно к волнам принцип суперпозиции утверждает, что каждая из них с,(х, /) распространяется независимо от того, есть ли в данной среде источники других волн или нет. Математически, в случае распространения N волн вдоль оси х, он выражается так

где i(x, t) — суммарная (результирующая) волна.

Рассмотрим наложение двух монохроматических волн одинаковой частоты со и поляризации, распространяющихся по одному направлению (ось х) из двух источников

и

Будем наблюдать результат их сложения в определенной точке М, т.е. зафиксируем координату х = хм в уравнениях, описывающих обе волны:

и

При этом мы устранили двойную периодичность процесса и превратили волны в колебания, совершающиеся в одной точке Мс одним временным периодом Т= 2л/со и различающиеся начальными фазами т.е.

и

Теперь для нахождения результирующего процесса ?,(/) в точке М мы должны сложить q, и ?,2: W) = (О + Мы можем воспользоваться результатами, полученными ранее в подразделе 2.3.1. Используя формулу (2.21), получим амплитуду суммарного колебания А, выраженную через А, срх и А2, фг, как

Значение Ам (амплитуда суммарного колебания в точке М) зависит от разности фаз колебаний Аср = ф2 — tpi- Что происходит в случае разных значений Дф, подробно рассмотрено в подразделе 2.3.1. В частности, если эта разность Дф остается все время постоянной, то в зависимости от ее значения может получиться так, что в случае равенства амплитуд А = Ai = А результирующая амплитуда Ам будет равной нулю или 24.

Чтобы явление увеличения или уменьшения амплитуды при наложении волн (интерференции) можно было наблюдать, необходимо, как уже говорилось, чтобы разность фаз Дф = ф2 — ф! оставалась постоянной. Это требование означает, чтобы колебания были когерентными. Источники колебаний называются когерентнымиесли разность фаз возбуждаемых ими колебаний не изменяется с течением времени. Волны, порожденные такими источниками, также являются когерентными. Кроме того, необходимо, чтобы складываемые волны были одинаково поляризованными, т.е. чтобы смещения частиц в них происходили, например, в одной плоскости.

Видно, что осуществление интерференции волн требует соблюдения нескольких условий. В волновой оптике это означает создание когерентных источников и реализации способа сложения возбуждаемых ими волн. [1]

  • [1] Различают когерентность (от лат. cohaerens — «находящийся в связи») временную,связанную с монохроматичностью волн, о которой и идет речь в данном разделе,и пространственную когерентность, нарушение которой характерно для протяженныхисточников излучения (нагретых тел, в частности). Особенности пространственной когерентности (и некогерентности) мы не рассматриваем.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >