Энергия гармонических колебаний

При гармонических колебаниях на выведенное из положения равновесия тело действует сила. Следовательно, оно обладает потенциальной энергией П. Тело при колебаниях движется, следовательно, оно обладает и кинетической энергией Т. Чтобы найти его полную механическую энергию Е, надо сложить потенциальную и кинетическую энергии

При колебательных смещениях ?, от положения равновесия на тело действует упругая (квазиупругая) сила. Потенциальная энергия тела в этом случае определена в подразделе 1.3.5 как

Зависимость смешения ?, от времени t при колебаниях определяется соотношением (2.4). Значит, выражение для потенциальной энергии имеет вид

Кинетическая энергия тела равна , так как и =

, то

Поскольку со2т = р, то

Найдем полную механическую энергию Е тела, сложив его потенциальную (2.70) и кинетическую (2.71) энергии

или

Таким образом, получили: полная энергия гармонических колебаний не зависит от времени, а определяется лишь коэффициентом р, характеризующим жесткость колебательной системы, и амплитудой А колебаний. Учитывая, что р = ты1, полную энергию можно выразить также и следующим образом:

Полная энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату амплитуды (Е ~ А2). Очевидно, что рассматриваемая колебательная система является консервативной и полная энергия ее сохраняется. При колебаниях происходит лишь переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, рассмотренный в подразделе 1.4. При этом очевидно, что максимальная потенциальная энергия (которая имеет место при максимальном, т.е. амплитудном, смещении в ту или иную сторону) равна полной энергии. Максимальная кинетическая энергия, которая имеет место при прохождении тела через положение равновесия, также достигает значения полной энергии Е.

Выражения (2.70) и (2.72) можно представить в виде

и

откуда видно, что колебания потенциальной и кинетической энергий осцилляторной системы происходят в противофазе (происходит взаимная «перекачка» энергий П и Г) и с удвоенной частотой 2ю по сравнению с частотой колебательных смещений ^(/). Это показано на рис. 2.15, где приведены зависимости потенциальной П, кинетической Т и полной Е (горизонтальная прямая) энергий от времени[1].

Энергия гармонических колебаний

Рис. 2.15. Энергия гармонических колебаний

Среднее за период значение кинетической энергии Т или потенциальной энергии П при гармонических колебаниях равно половине полной энергии Е (при этом среднее смещение, очевидно, равно нулю), т.е.

Это выражение является следствием того, что среднее значение функций sinW и cosW за период Т колебания есть

и

  • [1] На рисунке 2.15 символом Тобозначены и кинетическая энергия, и период колебаний.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >