Динамика гармонического колебательного движения

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Полученное ранее выражение (2.9) показывает, что между смещением и ускорением точки, совершающей гармоническое колебательное движение, существует простое соотношение

или

Это уравнение является дифференциальным уравнением гармонического колебательного движения. Если уравнение движения материальной точки (тела) или какой-либо произвольной физической величины, приводит к уравнению вида (2.45), то это является свидетельством того, что рассматриваемый процесс ее изменения во времени является гармоническим колебанием. Общим решением уравнения (2.45) являются сумма:

В справедливости этого утверждения можно убедиться, подставляя каждое из этих решений в уравнение (2.45).

Пружинный маятник

Пружинный маятник

Рис. 2.11. Пружинный маятник

Под пружинным маятником понимают обычно систему, состоящую из груза массой т, который, двигаясь без трения, может совершать колебательное движение под действием упругой силы (например, пружины с коэффициентом жесткости р и груза — тела массой т, эта система рассматривалась нами ранее в подразделах 1.3.1 и 1.4.4).

Будем считать, что пружина одним концом прикреплена к грузу, а другим — закреплена в неподвижном упоре (рис. 2.11), массой пружины можно пренебречь по сравнению с массой тела. За нулевое (начало координат оси ?) примем положение правого ее конца (или груза), соответствующее недеформированной пружине. Применим второй закон динамики к движению груза, смещенного из положения равновесия на величину ? и находящегося под действием упругой силы:

где ? величина смещения.

В данном случае сила упругости F= —(1с является единственной силой, действующей на тело в направлении оси ? (так как проекция его силы тяжести на ось ? равна нулю, и трение отсутствует). Знак минус обусловлен тем, что сила, действующая на тело со стороны пружины, всегда направлена в сторону, противоположную его смещению из положения равновесия. Перенося оба члена уравнения (2.47) в левую часть равенства и разделив его на т, получим

Рис. 2.12.

Математический

маятник

Сопоставим полученное выражение с общим видом дифференциального уравнения гармонических колебаний (2.45). Так как оба уравнения при со2 = р имеют одинаковый вид (их решение — гармоническая функция времени), то значит, тело совершает гармоническое колебательное движение. Из этого следует другое определение гармонических колебаний: гармоническими называются колебания, происходящие под действием упругой силы и подчиняющиеся уравнению вида (2.45). Сравнивая коэффициенты при одинаковых членах уравнений, получим: . Отсюда выражение для угловой частоты колебаний груза представляется в виде:

Точно такое же выражение может быть получено для угловой частоты свободных колебаний тела, возникающих при наличии любой квазиупругой силы, т.е. силы, не относящейся к разряду сил упругости, но величина которой пропорциональна смещению тела от положения равновесия и противоположна ему по направлению так же, как и для упругой силы.

Согласно выражениям (2.6) с (2.49) период Т гармонических колебаний тела, совершаемых под действием упругих и квазиупругих сил, определяется формулой

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >