Сложение гармонических колебаний

Сложение колебаний одного направления

Начнем с самого простого случая — сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты и одного направления. Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебательных движениях ?|(0 и одинаковой частоты со, смещения в которых происходят по одной оси. Оба они описываются уравнениями вида (2.4):

и

Результирующее смещение ^(0 найдем как сумму смещений (;(/) = = (/) + ^г(0 = y4cos(co/ + ф), где А и ф — искомые амплитуда и начальная фаза суммарного колебания. Такое сложение можно произвести как аналитически, с использованием известных формул тригонометрии, так и графически, однако графический метод обладает большей наглядностью. Для этого воспользуемся векторной диаграммой. Каждое из складываемых колебаний можно представить в виде векторов А, и Д (в момент времени t = 0 на рис. 2.7), откладываемых от оси абсцисс под углами ф: и ф2 соответственно. Поскольку частоты двух колебаний одинаковы, то взаимное расположение векторов Д и Д при их вращении вокруг начала координат (точка О на рис. 2.7) с угловой скоростью со, равной угловой частоте колебаний, с течением времени останется неизменным. Проекции с,х и г на ось векторов Д и Д, соответственно как функции времени, представляют исходные колебания[1] %i(t) и i2(t), а вектор А, который является векторной суммой векторов Д и Л2, — результирующее колебание (точка В на рис. 2.7). Это колебание происходит с той же частотой (весь параллелограмм представляется вращающимся с угловой скоростью to). Амплитуду А этих колебаний можно определить по теореме косинусов из рассмотрения треугольника, построенного на векторах Д, Л2, и А:

Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты с помощью векторной диаграммы

Рис. 2.7. Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты с помощью векторной диаграммы

Исследуем полученный результат. В случае сложения колебаний с одинаковыми частотами разность фаз складываемых колебаний в любой момент времени будет равна разности их начальных фаз, т.е. A(p = [((o/ + 2)-(«tf + _(Pi- Из формулы (2.21) видно, что амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз Дф. В частности, если разность фаз Дф удовлетворяет условию

где п = 0, 1, 2, ..., то совДф = 1, т.е. колебания синфазны, амплитуда складываемых колебаний будет максимальна или

Если разность фаз удовлетворяет условию

— колебания противофазны, то cos Дф = —1, амплитуда складываемых колебаний будет минимальна

или

Знак модуля поставлен из тех соображений, что амплитуда колебаний — величина положительная. Нетрудно видеть, что при равенстве амплитуд (Л, 2) и разности фаз, определяемой формулой (2.24), точка В покоится. В этом случае два гармонических колебания, имеющие равные амплитуды и совершающиеся в противофазе, окажутся полностью взаимно скомпенсированными (колебания «гасят» друг друга). Теперь определим начальную фазу ф результирующего колебания.

Из рисунка 2.7 видно, что но

, тогда • и искомая начальная фаза результирующего колебания

Таким образом, при сложении двух гармонических колебательных движений получается также гармоническое колебание той же частоты с амплитудой А, определяемой формулой (2.21) и начальной фазой Ф - (2.26).

Отметим, что в случае механической системы такой тип колебаний (безынерционное сложение гармонических колебаний одной частоты и одного направления) реализовать нельзя. Вторая механическая система, подсоединенная к колеблющейся первой, уже не будет инерциальной и в ней при колебаниях будет возникать явление, рассматриваемое далее в подразд. 2.7, — резонанс. Безынерционное сложение возможно только в «безмассовых» системах — световые лучи, электронный зайчик на экране осциллографа и др.

  • [1] Колебания 4i(0 и 4г(0> представленные в форме (2.3), можно также рассматриватькак проекции векторов Д и Д на ось Ог.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >