Движение тела с переменной массой.

В некоторых задачах механики масса тела в процессе движения не остается постоянной. Примером могут служить системы, работа которых основана на сгорании топлива, запасенного в самой движущейся системе. Выведем основные законы такого движения на примере движения ракеты (рис. 1.10).

Рис. 1.10.

Движение ракеты

В полете ракета выбрасывает продукты горения, воздействуя на них изнутри камеры сгорания с большой силой. С той же по величине силой R, но противоположно направленной, эти продукты действуют на ракету, сообщая ей ускорение. При старте с Земли на ракету, кроме того, действует сила тяжести F= mtig (где /ио — стартовая масса ракеты), направленная вертикально вниз. Во время полета из-за расхода топлива масса ракеты уменьшается, т.е. является зависящей от времени функцией m{t). Скорость о ракеты также зависит от времени t. За время dt масса и скорость ракеты получат приращения dт и do, причем величина d/и отрицательна (масса ракеты уменьшается). Через d/ импульс ракеты станет равен (т + dm)(v + do), а мгновенный импульс переведенного в газообразное состояние топлива — d/n,Or, где dmr — изменение массы газа за время dt, а ит скорость истечения газов, т.е. скорость частичек сгоревшего топлива относительно ракеты. Приращение импульса ракеты за время d 1 получится вычитанием из конечного импульса его начального значения. Эта разность согласно уравнению (1.49) равна импульсу силы Fdt. В проекции на ось, вдоль которой направлены скорость ракеты и внешняя сила /’(сила притяжения Земли или планеты, с которой производится старт) для системы ракета-газы имеем уравнение

Раскрывая скобки и учитывая, что dmr = —dm (изменение массы ракеты обусловлено расходом топлива), а также вводя vmH — vr — и отн скорость истечения газов относительно ракеты) и пренебрегая членом (dmdu) второго порядка малости, получим: mdu = vmndm + Fit или

Это уравнение второго закона Ньютона. Однако масса здесь не постоянна, она меняется со временем из-за сгорания топлива. Кроме

того, к внешней силе прибавляется дополнительный член ,

который представляет собой реактивную силу или силу тяги ракеты (рис. 1.10). Это уравнение впервые было выведено И. В. Мещерским[1] и носит его имя.

Если отсутствует (или пренебрежимо мала) внешняя сила (сила тяжести, в нашем случае), т.е. F= 0 (движение в космическом пространстве вдалеке от Земли и тяготеющих небесных тел), на ракету действует только реактивная сила. Из решения уравнения (1.53) при начальных условиях: стартовая масса т(0) = т0 и стартовая скорость и(0) = и0, и постоянной скорости истечения газов (dm/dt = const, что соответствует постоянному расходу топлива) следует: под действием реактивной силы движение ракеты происходит со скоростью, зависящей от времени по закону

Из уравнения (1.54) можно получить связь между мгновенной массой и скоростью ракеты (при неподвижной на старте ракете, ио = 0):

Два последних соотношения называются формулами Циолковского[2].

  • [1] Иван Всеволодович Мещерский (1859—1935) — российский ученый, основоположникмеханики тел переменной массы.
  • [2] Константин Эдуардович Циолковский (1857—1935) — русский и советский ученый,основоположник современной космонавтики.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >