Принцип независимости действия сил.

Когда мы говорим о силе, действующей на тело, то подразумеваем действие какой- либо одной силы. Однако во многих случаях тело находится под одновременным действием нескольких сил. В этом случае справедлив так называемый принцип независимости действия сил.

Сущность его заключается в следующем: если на тело одновременно действует несколько сил, то ускорение, приобретенное телом под действием каждой силы в отдельности, не зависит от того, действуют ли на тело в данный момент другие силы или нет.

Пусть на тело одновременно действует несколько силF2, р, .... Тогда /'-я сила сообщит телу ускорение я, = р /т. При одновременном действии всех сил тело приобретает ускорение, равное векторной сумме всех ускорений, или

что является обобщением второго закона Ньютона на случай одновременного действия нескольких сил. Векторная сумма сил, действующих на тело, называется равнодействующей (или результирующей) сил, приложенных к нему. Ускорение телу сообщает результирующая сила, направление ускорения совпадает с ее направлением.

Уравнения движения тела, к которому приложены (Усил, можно записать и в координатной форме

где в правых частях равенств стоят суммы соответствующих проекций всех /V сил, действующих на тело, на оси декартовой системы координат.

Две основные задачи динамики материальной точки. Структура динамических уравнений определяет содержание двух основных задач динамики материальной точки. Рассмотрим эти задачи на примере прямолинейного движения точки (тела) вдоль оси х, описываемого уравнением тх = Fx.

Первая задача: задано кинематическое уравнение движения МТ: х = /(/). Зная массу т точки, определить силу. Решение сводится к двукратному дифференцированию уравнения движения и последующей подстановке найденной второй производной, умноженной на т, в дифференциальное уравнение движения.

Вторая задача: задана сила. Зная массу МТ, требуется определить кинематическое уравнение движения. Эта задача связана с решением дифференциального уравнения второго порядка. Поскольку сила может являться более или менее сложной функцией времени, положения тела или (и) его скорости, то решение уравнения иногда сопряжено с определенными математическими трудностями.

Рассмотрим несколько примеров.

Сила является линейно возрастающей функцией времени Fx = kt (где к — постоянный коэффициент) и направлена вдоль оси х; кроме того, известно, что при t = 0 скорость ох = uo, а отсчет расстояния ведется от начального нулевого положения, т.е. при / = О х0 = 0. Дифференциальное уравнение движения будет иметь вид: тх = kt. После понижения порядка производной и разделения переменных получим

Первое интегрирование дает

Постоянную интегрирования находим из начального условия — при t = О ох = и<). Подставляя его, получим Так как , то

. Разделяем переменные и интегрируем

При t = 0 координата х = 0, следовательно, и с2 = 0. Итак, окончательно, уравнение движения

Сила является линейной функцией смещения: F(x) = —fix (такая зависимость характерна для упругих сил, например, при сжатии или растяжении пружины). Примем также начальные условия предыдущего примера, а именно: при t = 0 vx = f0 и х0 = 0. Дифференциальное уравнение движения будет иметь вид:

тх = —р*. Понижаем порядок производной, тогда . Попытка разделить переменные в этом уравнении наталкивается на затруднение потому, что этих переменных не две, а три. Необходимо перейти в левой части от аргумента t к аргументу х. Это можно сделать, умножив и разделив выражение

на dx. Действительно, . Произведя замену и разделив переменные, получим

Используя начальные условия, получим Тогда

или

Так как то, разделив переменные, получим

Интегрирование дает

При 1 = 0 координата jcq = 0, поэтому с2 = 0. Тогда

т.е. под действием упругой силы тело совершает периодическое колебательное движение по закону синуса (или при преобразовании фазы t

в (V'lW* t-n/2 ) по закону косинуса).

Сила является линейной функцией скорости. Этот случай характерен для движения тела в тормозящей среде (вода, воздух и др.), когда действующая на него сила является силой сопротивления, препятствующей движению. Найдем уравнение движения шара массой т, падающего под действием силы тяжести mg в вязкой среде, создающей силу сопротивления движению Fc = —kvx (где к — некоторый постоянный коэффициент, зависящий от вязкости среды), полагая Оо = 0 и Хо = 0 при / = 0 (ось х направлена вертикально вниз). Дифференциальное уравнение движения будет иметь вид тх = mg - kvx.

Выполнив все необходимые предшествующие интегрированию операции, получим

Интегрирование дает

С использованием начальных условий находим

Итак:

Подставляя и разделяя переменные, получим

при / = 0 и х0 = 0, найдем Тогда

Таково уравнение движения падающего в вязкой среде шара.

Зависимость от времени скорости движения тела при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости

Рис. 1.9. Зависимость от времени скорости движения тела при наличии силы сопротивления, пропорциональной скорости

Возвращаясь к зависимости v(t), заметим, что с увеличением времени t выражение, стоящее в скобках, приближается к единице, и соответственно vx —> mg/к (рис. 1.9). Практически это означает, что по прошествии времени (в пределе при t —? оо) скорость становится постоянной (установившееся движение). Это соответствует равенству силы тяжести mg силе сопротивления среды. Определение к из соотношения и(х) = mg/k (установившаяся скорость ^уст= и(оо) находится из эксперимента) является широко используемым способом измерения вязкости среды (см. подраздел 4.7.10, формула (4.201)).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ   След >