Аналитическое решение систем массового обслуживания и сравнение его с имитационным моделированием

Еще в самой первой главе мы говорили, что кроме имитационных моделей могут использоваться математические модели, и что возможно получение значений интересующих нас характеристик с помощью аналитического решения. Рассмотрим способы получения аналитического решения систем массового обслуживания.

Формулы Литтла

Рассмотрим работу некоторой системы массового обслуживания и будем откладывать по оси Y номер поступившего требования и номер обработанного требования. Поступления новых требований возникает через случайные интервалы времени, которые связаны со средней интенсивностью X, а обслуживание требований происходит спустя интервал времени связанный

со средней длительностью обслуживания ^ (после того как требование начало обрабатываться, средняя интенсивность обслуживания р).

Номер поступивших и обработанных требований

Рис. 9.1. Номер поступивших и обработанных требований

Можно утверждать, что при большом времени моделирования Т количество поступивших требований будет АТ, а количество обслуженных требований min(A7, рГ). Разница по времени между поступлением и окончанием обслуживания для каждого требования (площадь прямоугольника с высотой 1) есть время проведенное требованием в системе t*. Если просуммировать по всем требования и поделить на число этих требований N, то получим среднее время пребывания требования в системе. Время, проведенное каждым требованием в системе

Рис. 9.2. Время, проведенное каждым требованием в системе

Длительность времени, когда в системе находилось разное число

Рис. 9.3. Длительность времени, когда в системе находилось разное число

требований

Если умножить интервалы времени ту, когда количество требований в системе Пу не меняется, на само это количество (площадь прямоугольников разной высоты), просуммировать по всем интервалам (iV2) и взять среднее за весь период времени Т, то получим N сист среднее количество требований в системе. Однако сумма площадей, что на рис. 9.3, что на рис. 9.2 одинаковая, поэтому расчет упрощается.

Подставляя Nсист вместо в выражение (9.1), получаем первую

Формулу Литтла соотношения среднего количества и времени требований в системе.

Аналогично можно вывести вторую формулу Литтла соотношения средней длины очереди и среднего времени пребывания в очереди. На графике отметим tj оч интервалы времени ожидания в очереди для каждого требования (площади прямоугольников на рис. 9.4, а для требований, которые не ждали в очереди, время ожидания равно 0). Среднее время, проведенное в очереди, получаем:

Рис. 9.4. Время ожидания в очереди для каждого требования

Можно преобразовать график на рис. 9.4 таким же образом, как это было сделано на рис. 9.3, откуда выразить среднюю длину очереди Размер очереди для каждого требования

Рис. 9.5. Размер очереди для каждого требования

Подставляя выражение (9.5) в (9.4) получаем вторую формулу Литтла соотношения средней длины очереди и среднего время пребывания в очереди.

Связь между первой и второй формулой Литтла образуется из того, что время пребывания в системе состоит из суммы времени, проведенном в очереди и временем обслуживания:

Если известно одно из значений, через формулы 9.3, 9.6, 9.7 можно найти все интересующие нас характеристики системы массового обслуживания.

 
Посмотреть оригинал