Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Биофизика
Посмотреть оригинал

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ЭКОЛОГИИ

Решение современных экологических проблем имеет не только важное научное, но и общее значение для жизни человечества. Особую роль здесь приобретает изучение динамики экологических процессов, направленное на разработку методов прогнозирования развития экологических систем и их оптимального управления в интересах человека.

Одним из важных путей в этом направлении является математическое моделирование процессов энерго- и массообмена в биогеоценозе, в которые вовлекаются биомассы звеньев экологических систем.

Рассмотрим основные модели динамики численности популяций в экосистемах и покажем, каким образом на их основе можно характеризовать устойчивость экологических сообществ и прогнозировать их поведение во времени.

Модели отдельной популяции.

Изучим поведение отдельно взятой популяции, не учитывая в явном виде ее взаимодействий с другими видами, находящимися с ней либо на одном, либо на разных трофических уровнях. Простейшие уравнения, описывающие неограниченный рост популяции в условиях избытка пищи и местообитания (например, пенициллиновых грибков в культиваторе), были рассмотрены в гл. 1 (см. (1.1)—(1.3)).

Напомним, что уравнение (1.3) логистической кривой Ферхюльста получается при учете самоограничения роста («самоотравления») популяции в условиях тесноты и конкуренции внутри популяции. Оно имеет вид

где член бх2, пропорциональный количеству встреч между особями внутри популяции, учитывает этот эффект самоограничения роста.

Легко видеть, что уравнение стационарных состояний ех-бх2 =0 имеет два корня:

Согласно критерию устойчивости (1.17) знак производной правой части (5.1)

в стационарной точке определяет ее устойчивость.

Подставив значение xt =0, для первого стационарного режима получим, что , т.е. состояние, где Зс, =0 неустойчиво.

Наоборот, другое стационарное состояние устойчиво, так

как всегда

Устойчивое состояние х2 = е/ё = хшх соответствует максимальной стационарной численности популяции, или «емкости среды», возможной в данных условиях. Как видно, величина зависит от соотношения константе и б процессов «притока» и «убыли» численности популяции. Уравнение (5.1) удобно переписать в виде

где

Уравнение (5.3) является простой математической моделью, изучая свойства которой можно понять влияние некоторых факторов на судьбу популяции.

Как видно из (5.1) и (5.3), увеличение численности х зависит от скорости размножения популяции как ear. Между тем это линейное выражение справедливо лишь для бесполового размножения. Для разнополой популяции в условиях неограниченных ресурсов скорость размножения определяется числом встреч самцов и самок и квадратично растет с ростом числа особей:

Однако когда плотность популяции очень велика, скорость размножения лимитируется уже не числом встреч самцов и самок, а числом самок в популяции. Оба эффекта являются квадратичной зависимостью скорости размножения, некоторое ограничение которой при больших плотностях учитывается как

Формула (5.5) не дает предела роста численности популяции и не предсказывает ее гибели при низких плотностях численности. Но в реальных условиях экологи наблюдают вымирание популяции, если ее численность становится ниже критической величины. Очевидно, это связано с тем, что при низких плотностях популяции время, необходимое для встречи и оплодотворения, становится уже больше времени жизни отдельной особи, способной к оплодотворению. Учтем этот фактор, введя в (5,5) член, описывающий смертность (ул'), пропорциональную численности:

Уравнение (5.6) имеет два стационарных решения:

Анализ показывает, что точка х, =0 устойчива, а точка х2 = / неустойчива. Это надо понимать следующим образом. Если начальная численность популяции меньше /(х < /), то популяция вырождается и ее численность стремится к нулю —>• 0). Однако при х > I согласно (5.6) численность популяции будет расти неограниченно. Для прогнозирования жизни популяции конкретного вида очень важно знать значение нижней критической величины ее численности, ниже которой популяция неизбежно вымирает. Оказалось, например, что популяция голубых китов обречена на вымирание, ибо ее численность в настоящее время ниже критической величины. И это несмотря на то, что отдельные особи встречаются в Мировом океане, а охота на голубых китов запрещена. Ясно также, что реальная численность популяции должна быть ограничена и сверху, так как при больших плотностях скорость размножения падает [член 8х2 в (5.1)] из-за внутривидовой конкуренции. Выражение, учитывающее оба фактора — нижнюю критическую границу численности и самоограничение при больших плотностях, имеет вид

На рис. 5.1 показаны графики зависимости численности популяции от времени (рис. 5.1, а) и скорости увеличения численности

от численности х(Г) (рис. 5.1, б).

Система (5.8) имеет уже три стационарные точки (вследствие появления в стационарном уравнении кубичных членов (-т8х3)): Х| =0 и х3 = К — устойчивые точки и х2 = / — неустойчивая точка, расположенная на границе областей двух устойчивых режимов [А'и / — функции параметров уравнения (5.8)]. В зависимости от начальной численности популяция либо вымирает: х —» 0 при хна,,< /, либо достигает максимально возможного значения своей численности (х —> К) при хнач > /.

Зависимость численности популяции от времени (а) и скорости роста численности от численности (б) в соответствии с формулой (5.8). Штриховкой обозначена область вырождения популяции

Рис. 5.1. Зависимость численности популяции от времени (а) и скорости роста численности от численности (б) в соответствии с формулой (5.8). Штриховкой обозначена область вырождения популяции:

/ — кривая без запаздывания; 2—3 — кривые с запаздыванием

Конечно, пытаясь предсказать судьбу конкретной популяции, необходимо заранее знать не только ее начальную численность, но и определить путем наблюдений и экспериментов величины / и К. В ряде случаев удается предвидеть приближение популяции к опасной границе, ниже которой восстановление численности уже невозможно, что особенно важно при планировании промыслов. Если в ответ на одноразовое сокращение численности развитой популяции ее восстановление происходит быстро (кривая /, рис. 5.1), без начального запаздывания, то критическая точка (х = /) еще далеко. И наоборот, появление лаг-фазы в восстановительном процессе (кривая 3, рис. 5.1) свидетельствует об опасной близости к границе необратимого уменьшения численности и, следовательно, о необходимости сокращения масштабов промысла.

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы