Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Естествознание arrow Биофизика
Посмотреть оригинал

ТИПЫ ДИНАМИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Современная практика математического моделирования показала, что наиболее содержательные и вместе с тем не слишком «перегруженные» деталями модели содержат, как правило, два уравнения.

Именно в том случае, когда, пользуясь разделением переменных на быстрые и медленные, удается свести исходную систему к виду

успешно применяют качественные методы исследования подобных систем. В процессе изменения состояния системы во времени переменные х, у изменяются согласно уравнениям (2.1) так, что каждому состоянию соответствует пара значений (х, у). Иными словами, измеряя в последовательные моменты времени tb t2, ..., /„ значения переменных х, у, мы представляем состояние системы в виде соответствующих пар (хь у,), (х2, у2), ..., (х„, у„).

Метод фазовой плоскости.

Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных х, у. Каждая точка М этой плоскости с координатами (х, у) соответствует определенному состоянию системы.

Такая плоскость носит название фазовой плоскости, а точка Л/(х, у) называется изображающей точкой (рис. 2.1).

Пусть в момент t = t0 координаты изображающей точки Л/ц(х0, у0). В каждый следующий момент времени / изображающая точка будет двигаться в соответствии с системой уравнений (2.1) и каждый раз принимать положение Л/(х, у) в зависимости от значений х(/), y(t). Совокупность этих точек на фазовой плоскости х, у называется фазовой траекторией.

Характер фазовых траекторий отражает общие качественные черты поведения системы во времени или, как говорят, дает «фазовый портрет» системы. Нас будет интересовать фазовый портрет системы вблизи стационарной, или особой, точки. Согласно определению стационарного состояния в особой точке одновременно

Следовательно, для нахождения особой точки необходимо построить на фазовой плоскости кривые Р(х, .у) = 0 и Q(x, у) = 0. Точка пересечения этих кривых и будет особой точкой, а ее координаты будут иметь стационарные значения х, >>. В качестве примера рассмотрим вновь систему (1.4), где вместо переменных а и Ь введем обозначения х = а, у = Ь.

Перепишем систему (1.4) в виде

Приравняв к нулю правые части (2.3) в соответствии с (2.2), получим уравнения кривых Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0 для нахождения особой точки:

п Нахождение особой точки системы (2.3)

Рис. 2.2. Нахождение особой точки системы (2.3)

Учитывая, что ki+2 запишем уравнения (2.4) в виде

где с|, с2, сз, с4 — положительные константы — легко определяются из (2.4).

Графики функций (2.5) представляют собой прямые линии, точка пересечения которых и есть особая стационарная точка М(х,у) системы (2.3) (рис. 2.2). В случае нелинейных уравнений второго порядка графики функций Р(х, у) = 0

м Q(x, у) = О не являются прямыми линиями и могут пересекаться друг с другом в нескольких особых точках, что соответствует нескольким стационарным режимам (рис. 2.3).

 
Посмотреть оригинал
< Предыдущая   СОДЕРЖАНИЕ   Следующая >
 

Популярные страницы